Kann mir jemand bei der Mathe-Aufgabe behilflich sein?
Ein Marktforschungsinstitut hat festgestellt, dass der oberste zu realisierende Eintrittspreis für ein Erlebnis-Schwimmbad bei 12€ liegt. Eine Preissenkung um jeweils 1€ (∈ gewissen Grenzen) zu einer Zunahme von jeweils 10 Besuchern pro Tag führen. Ein Erlebnis-Besitzer, der derzeit durchschnittlich 100 Besucher bei 12€ pro Karte hat, denkt über eine Preissenkung nach. a) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Umsatz am größten ? b) Bei welchem Eintrittspreis wäre sein Gewinn am größten, wenn sich die Kosten pro Tag aus einem festen Betrag von 300€ (z.B. für Miete) und den variablen Kosten von 4€ pro Karte (z.B. für Wasserverbrauch) zusammensetzen.
Habe schon viel probiert, aber nichts sinnvolles herausbekommen. Danke im Voraus
2 Antworten
f(x) = x*(100+10*(12-x)) | 0 <= x <= 12
x steht für den Preis und 100+10*(12-x) für die Kartenverkäufe, da 100 Besucher Standard sind und pro Euro weniger 10 mehr kommen.
Klammere das erstmal aus:
f(x) = x*(100+120-10x)
f(x) = 100x+120x-10x²
f(x) = -10x²+220x
Der größtmögliche Gewinn stellt einen Extrempunkt dar, nämlich ein Maximum. Das heißt, dass f'(x) = 0 und f''(x) < 0 am Extrempunkt ist. Bilde also erstmal die ersten Ableitungen.
f'(x) = -20x+220
f''(x) = -40
Da die zweite Ableitung konstant negativ ist, siehst du, dass diese Funktion keine Minimal-, sondern nur Maximalstellen hat. Du musst also nur die erste Ableitung auf 0 setzen.
-20x+220 = 0 | -220
-20x = -220 | :(-20)
x = 11
An x = 11 erreicht f(x) also den größtmöglichen Wert, weshalb mit 11 € am meisten Geld eingenommen wird.
b) kriegst du selber hin, stell dazu einfach die Funktion etwas um.
b) Kosten K(x) = 300 + 4 ∙ (100 + 10x) = 700 + 40x = 10(70 + 4x)
Gewinn G(x) = E(x) - K(x) = 10(120 + 2x - x²) - 10(70 + 4x) =
10(120 + 2x - x² - 70 - 4x) = 10(50 - 2x - x²)
G´(x) = 10(- 2 - 2x) G´(x) = 0 → x = - 1 , also bei einem Eintrittspreis von 13€.
Wie kommst du von x=-1 auf einen Eintrittspreis von 13€?