Kann mir jemand bei der 61. Matheolympiade helfen?
1 Antwort
Hier mal ein paar Ideen:
610813
Zu a und c)
Sei e die Gerade, die parallel zu AC verläuft und A‘ schneidet und und h die Gerade, die parallel zu BC verläuft und B‘ schneidet. Da BC und AC nicht parallel zueinander liegen, scheidet h die Gerade e in genau einem Punkt C‘.
Da h parallel zu AC und e parallel BC liegt, ist
|B‘C‘| = |A‘C| (Eigenschaft Parallelogram)
und
∡AB‘C = ∡B‘CA‘ (Winkel bei Parallelen)
Daher sind die Dreiecke AC‘B‘ und A’B’C kongruent. (Kongruenzsätze)
Dann ist auch ∡B‘AC‘ = ∡CB‘A‘ und da g parallel zu AB liegt, liegt C‘ somit auf AB.
Analog zu oben folgt dann die Dreiecke A’B‘C und A‘BC‘ sind kongruent.
Und daher
|BA‘| = |A‘C|
als auch
|A’B‘| = 1/2(|AC‘| + |C‘B|) = 1/2|AB|. []
Zu b)
Seien e und h wie in Teil a). Dann liegt nach Teil a) der Schnittpunkt von h und e im Mittelpunkt C‘ von der Seite AB.
A‘B‘C‘C ist dann ein Parallelogram, also
|C‘A‘| = |AB‘|.
Da AB‘ und C‘A‘ parallel liegen, ist also auch AB‘C‘A‘ ein Parallelogram. []
610814
Seien L,E,V in lN mit
2(L + E) + V = 61. (*)
Zu nächst einmal:
Ist V = 61 - 2(L + E) <= 61 - 6 = 55.
Da 61 ungerade ist, ist V ungerade.
Sei nun V gegeben, für W = (V - 1)/2 in lN gilt:
L + E = 30 - W.
Zu gegeben L gibt es nur genau eine mögliche Lösung E. Also gibt es höchsten 29 - W mögliche Paare (L,E), da L,E > 0.
Weiter teilt 5 nicht 61, daher gibt es für
2(L + E) + V = 61
keine natürliche Lösung mit L=E=V. Diese Möglichkeit müssen wir also unter allen natürlichen Lösungen > 0 nicht ausschließen.
Es gilt außerdem
V =< 19 <=> W =< 9 <=> L + E >= 21. (**)
Falls W gerade ist, dann gibt es genau eine Lösung von (*) mit L = E, sonst nicht und falls W =< 9, dann gibt es wegen Stern (**) genau eine Lösung mit L = V und genau eine Lösung mit E = V, sonst keine.
Da L, E und V paarweise verschieden sind, gibt es also 29 - W mögliche Paare (L,E), falls W ungerade und W > 9, 28 - W mögliche Paare, falls W gerade und W > 9, 27 - W mögliche Paare, falls W gerade und W =< 9 und 26 - W mögliche Paare, falls W gerade und V =< 9.
Wegen
V in lN\(2lN) mit 1 =< V =< 55 <=> W in lN mit 0 <= W =< 27
ist die Anzahl der Lösungen dann
29 - 27 + 29 - 25 + … + 29 - 11 +
28 - 26 + 28 - 24 + … + 28 - 10 +
27 - 9 + 27 - 7 + … + 27 - 1 +
26 - 8 + 26 - 6 + … + 26
=
9•(29 + 28) + 5•(27+26) - (1+2+…+27)
=
9•57 + 5•53 - (27(27+1))/2
=
513 + 265 - 378
=
400.