Kann jemand die Wahrscheinlichkeiten im Spiel "Kniffel" berechnen und erklären?
Hallo Leute,
ich muss am Freitag ein Referat über das Spiel "Kniffel" halten und es mit der Stochastik in Verbindung bringen. Leider bin ich in Mathe eine totale Niete und versteh nur Bahnhof. Ich habe auf unterschiedlichen Internetseiten nach Wahrscheinlichkeitsberechnung beim Kniffel geschaut, aber leider steht überall etwas anderes oder ich versteh es einfach nicht.
Kann mir jemand dazu "Nachhilfe" geben und mir die Wahrscheinlichkeitsberechnung dieses Spiels erklären? Das wäre unglaublich nett, denn ich bin momentan am Verzweifeln!
Liebe Grüße! :)
2 Antworten
Die wahrscheinlichkeit für kniffel(5 gleiche) ist zB ((1/6) hoch 5) x 6, denn jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit 1 von 6 und es gibt 6 Kombinationen, nämlich 5mal die 1, 5mal die 2, ...... bis zu 5mal die 6. Eine große Straße wäre ja 1-2-3-4-5 oder 2-3-4-5-6, also ((1/6) hoch 5) mal 5 (für die 5 verschiedenen anirdnungen) mal 2 (mal 2, weil ich zwei verschiedene Arten werfen kann (von 1-5 und von 2-6 (und diese auf jeweils 5 verschiedene Möglichkeiten ( 1. Würfel →1 2. →2 3.→3 4.→4 5.→5, ich hoffe du kannst dir den fest denken. ) Kleine Straße ist der großen Ähnlich, aber ich habe drei möglichkeiten, nämlich 1-2-3-4, 2-3-4-5 und 3-4-5-6. das heißt es ist ((1/6) hoch 4) mal 4 mal 3 Ich hoffe, du kannst dir die anderen selbst erschließen
Hallo,
alle Möglichkeiten durchzurechnen ist eine monströse Aufgabe, weil das Kniffel-Spiel eine Menge von Kombinationen kennt und es dazu noch die Möglichkeit gibt, bis zu dreimal zu würfeln und jeweils eine beliebige Zahl von Würfeln in den Becher zurückzulegen.
Am einfachsten ist die Berechnung, wie wahrscheinlich es ist, einen 'Kniffel', also einen Fünferpasch gleich beim ersten Mal zu würfeln. Am besten stellst Du Dir dazu vor, Du würfelst alle fünf Würfel nacheinander.
Würfel 1 muß nur irgendeine Zahl anzeigen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1, also: es ist sicher, daß der Würfel eine von sechs möglichen Zahlen anzeigt. Eine Wahrscheinlichkeit von über 1 kann es nicht geben. Die kleinste Wahrscheinlichkeit ist 0 - das bedeutet, daß dieses Ereignis auf keinen Fall eintritt.
Der zweite Würfel zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 die gleiche Zahl an wie der erste Würfel - ebenso die Würfel 3 bis 5. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit für einen Kniffel beim ersten Wurf bei 1*(1/6)⁴=1/1296.
Bei einem Viererpasch wird es schon ein wenig komplizierter. Wenn Du nur vier Würfel hättest, läge die Wahrscheinlichkeit, gleich beim ersten Mal einen solchen Pasch zu werfen, bei 1*(1/6)³=1/216. Nun hast Du aber fünf Würfel, von denen vier die gleiche Zahl anzeigen sollen. Wenn Du fünf verschiedenfarbige Würfel hättest, gäbe es bei vier von fünf Würfeln insgesamt fünf verschiedene Farbkombinationen. Das kannst Du über den sogenannten Binomialkoeffizienten ausrechnen. Er nennt sich allgemein n über k, wobei n und k in Klammern stehen und so geschrieben werden, daß sich das k unten und das n oben befindet. Berechnet wird er mit Fakultäten.
4!, also 4 Fakultät wird 1*2*3*4=24 gerechnet. Wenn Du wissen willst, wieviele Viererkombinationen es bei fünf Würfeln gibt, rechnest Du 5 über 4, was ausgeschrieben bedeutet 5!/[4!*(5-4)!], also 120/(24*1)=5.
Allgemein: n über k ist gleich n!/[k!*(n-k)!]. Mit dieser Formel kannst Du auch ausrechnen, wie viele Sechser-Kombinationen es bei 49 Lottozahlen gibt:
49!/[6!*(49-6)!], also 13983816. Wenn Du einen modernen Taschenrechner besitzt, tippst Du hierzu einfach 49nCr6, sofern Dein Rechner eine nCr-Taste besitzt. DIese Formel kannst Du aber nur anwenden, wenn es bei den Kombinationen nicht auf die Reihenfolge ankommt. Beim Lotto ist es egal, welche Zahl als erste, zweite usw. gezogen wird.
Zurück zu Kniffel: Die Wahrscheinlichkeit, mit vier Würfeln einen Viererpasch zu würfeln, liegt bei 1/216 (ob es sich um einen Pasch mit Einsen, Zweien usw. handelt, ist ja egal). Da es bei fünf Würfeln aber 5 über 4 gleich fünf Möglichkeiten gibt, welche vier dieser fünf Würfel die vier gleichen Zahlen zeigen, liegt die Wahrscheinlichkeit insgesamt bei 5/216.
Bei einem Dreierpasch haben wir dann eine Wahrscheinlichkeit von 5 über 3 gleich 10 mal 1/36=5/18.
Dies aber gilt nur, wenn Du nur jeweils einen einzigen Wurf hast. Du darfst aber bis zu dreimal würfeln, wobei Du jedes Mal eine beliebige Zahl von Würfeln zurück in den Becher legen kannst. Hier mußt Du, wenn nicht jemand mit einer tollen Formel aufwartet, wahrscheinlich Fallunterscheidungen machen und die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnen. Ich fürchte, das wird richtig kompliziert.
Viel Erfolg,
Willy