Ist tangens nur für - pi/2 bis pi/2 definiert wenn ja warum?

Nein. Der Tangens ist auch für mehr Zahlen definiert. Beispielsweise ist der Tangens auch an der Stelle π (was außerhalb des Intervalls ]-π/2; π/2[ ist) definiert und hat dort den Wert 0.

Man kann den Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus definiert. Da man jedoch eine Definition durch 0 nicht definiert ist, darf der Kosinus nicht 0 werden. Der Kosinus wird bei π/2 + k ⋅ π für ganze Zahlen k gleich 0 (also an den Stellen ..., -3π/2, -π/2, π/2, 3π/2, 5π/2, ...). Diese Stellen muss man aus der Definitionsmenge des Tangens rausnehmen. An allen anderen reellen Stellen hat man kein Problem.



Die Definitionsmenge der Tangensfunktion ist demnach...



(Zumindest wenn man von den reellen Zahlen als Grundmenge ausgeht. Man kann die Tangensfunktion auch auf die komplexen Zahlen erweitern.)

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Hier mal eine Skizze des Graphen der Tangensfunktion (blau)...

Entlang der x-Achse habe ich mal mit roter Farbe die Definitionsmenge gekennzeichnet. (Die Definitionslücken sind mit Kreisen mit weißem inneren markiert.)

Wie du evtl. erkennen kannst, ist die Tangensfunktion nicht nur im Intervall ]-π/2; π/2[ definiert.

Allerdings ist die Tangensfunktion π-periodisch. Wenn man also die Werte der Tangensfunktion im Intervall ]-π/2; π/2[ kennt, kann man aufgrund der Periodizität auch einfach auf die Funktionswerte an den Stellen außerhalb dieses Intervalls schließen.

tan(x) ist definiert als Sin(x) / Cos(x)

bei -pi/2 und pi/2 ist cos(x) = 0 und man würde durch 0 teilen, was nicht erlaubt ist

nein ... für alles ausser pi/2 + z * pi .... mit z € Z. Also gerade pi/2 und -pi/2 nicht. Limes geht gegen unendlich bzw. minus unendlich.

tangens ist auch darüber hinaus definiert, aber in den meisten Aufgaben nimmt man tangens nur in einem kleinen Bereich an, weil sich die Funktion ja eh immer wieder wiederholt

Nein er ist für diese Zahlen eben nicht definiert genau so wie für 3/2 * pi usw.