Ist ist 0! und 1! dasselbe?
Wieso ist 0! = 1 ?
7 Antworten
Naja, ich würde nicht sagen, dass es „dasselbe“ ist, sondern eher, dass es „das Gleiche“ ist. (Dieser Unterschied liegt aber eher in der deutschen Sprache begründet, als in der Mathematik.)
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Ja, 0! und 1! ist das Gleiche, da 0! und 1! beide gleich der Zahl 1 sind. Also...
0! = 1 = 1!
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Warum ist nun 0! = 1? Das folgt aus der Definition der Fakultät.
Je nach Definition der Fakultät ist das trivial (also direkt so in der Definition enthalten). Oder man benötigt noch die Kenntnis, dass das leere Produkt gleich 1 ist.
die Fakultät ist als rekursive Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert. Ob die 0 eine natürliche Zahl ist (oder bloß eine nicht-negative ganze Zahl), ist umstritten. Ob es 0! überhaupt gibt, ist also unklar. Der Programmierer eines Taschenrechners kann natürlich die 0 als natürliche Zahl annehmen, und dann folgt 0!=1 aus der Definition. Aber dieses Resultat ist für mich eher ein Hinweis, dass die 0 bei den natürlichen Zahlen nichts verloren hat.
aber es ist einfach eine Frage der Definition.
Nur Fragen der Definition können in der Mathematik eigentlich umstritten, d.h. Gegenstand unterschiedlicher Sicht sein. Alles andere sollte daraus ableitbar sein, und das gilt sogar für die Vollständigkeitslücken durch Selbstbezug.
Damit habe ich gleichzeitig definiert, was ich mit umstritten meine.
Ich habe mich vertan: Bitte ignorieren Sie diese Antwort.
Weil 0,999999999 gleich 1 ist (aufgerundet).
So gesehen ein Mathematisches Problem, einfacher ist natürlich die 1.
Beweise:
- Wären 0,999… und 1 verschiedene Zahlen, wäre der Durchschnitt (0,999… + 1)/2 = 1,999…/2 wieder ein anderer. Tatsächlich ist 1,999…/2 = 0,999…, womit bewiesen ist, dass 0,999… = 1 ist.
- Wird 0,999… schriftlich von links nach rechts von 1 subtrahiert, ergibt sich 0,000…
Skeptizismus:
Die Gleichung 0,999… = 1 wird aus diversen Gründen angezweifelt:
- Einige nehmen an, jede reelle Zahl hätte eine eindeutige Dezimaldarstellung.
- Einige sehen in 0,999… eine unbestimmte endliche oder potentiell oder aktual unendliche Anzahl von Neunern, aber keine Einschränkung, weitere Dezimalstellen hinzuzufügen, um eine Zahl zwischen 0,999… und 1 zu bilden. 0,999…1 könnte als Beispiel genannt werden.
- Einige interpretieren 0,999… als direkten Vorgänger von 1.
- Einige sehen 0,999… als Folge statt Grenzwert.
Ich weiß nicht ob die Frage mal anders war, aber wie kommst du von der Faktoriellen von 0 auf 0.99999?
Die eins bei der Fakultät kommt doch aus der Definition des leeren Produkts.
Die Fakultät ist ja nichts anderes als die Multiplikation aller Zahlen von 1 an bis zur Zahl n also:
nehmen wir zunächst mal n = 2 dann gilt:
jetzt nehmen wir n = 1
Es ist absicht dass hier nach der 1 nichts mehr steht, denn es ist nach wie vor eine Multiplikation allerdings hat diese nur mehr eine Zahl als Operanden.
Für 0 gilt jetzt in dieser Schreibweise:
und jetzt sind wir bei einem Spezialfall den man als leeres Produkt bezeichnet. Also eine Multiplikation ohne Operanden. Diese wird jetzt üblicherweise zu 1 definiert.
Dafür gibt es mehrere Gründe aber der Anschlauchichste ist wohl der Vergleich zur leeren Summe.
Die Leere Summe ist die Operation +. Und wenn man nichts zu nichts addiert kommt relativ anschaulich 0 heraus. Daraus ergibt sich jetzt aber die Eigenschaft, dass die leere Summe auch das neutrale Elelement der Addition ist also:
n + "leere Summe" = n + 0 = n
Das selbe will man jetzt am Ende auch für das leere Produkt und neutrale Element zur Multiplikation ist am Ende die 1 und damit hat man das leere Produkt zu 1definiert und damit implizit auch 0! = 1 definiert.
0! = 1! stimmt zwar und ist eine wahre Aussage aber syntaktisch sind beide doch nicht ganz gleich.
Btw man kann das leere Produkt auch mittels Logarithmen auf die Leere Summe zurückführen, sodass man eigentlich nur die leere Summe als 0 festlegen muss damit das leere Produkt zu 1 wird, das findet man zB hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt
Alternativ kann man auch beschreibungen aus der Kombinatorik verwenden um diesen Umstand zu erklären wie es Abwehrer getan hat.
Hey, aufjedenfall eine der besseren Antworten hier!
Jedoch ist es auch nicht ganz richtig das hier zu behaupten:
0! = ⋅
Vorallem weil du direkt drüber deine Definition hast. Mit k=1
Da n der Upper Bound ist kann der nicht kleiner als k sein und somit ist 0 hier nicht zulässig.
für n gleich 0 ist die Definition einfach n! = 1 (also 0! = 1)
Das hat nichts mit der anderen Formel von oben zu tun. Die ist für alle n > 0.
„0! = •“ ist das keine Mathematische Schreibweise.
Richtiger wäre hier die Multiplikation von zwei Empty Sets. (Keine Ahnung was für Mathe Niveau hier vom Fragesteller verlangt wird)
Ich finde deine Antwort trotzdem gut, falls das Mathe Niveau hier sehr Basic ist und man das zb. einer Person erklären müsste die keine Ahnung von Kombinations/Permutations oder Fakultät hat!
Ja schon klar dass es streng genommen so nicht ganz korrekt ist.
Es war mehr oder minder ein Versuch das darzustellen ohne jetzt direkt in die Tiefe zu gehen.
Dass die Faktorielle von 0 1 ist folgt aber eben direkt aus dem leeren Produkt bzw der Definition daraus dass das am Ende 1 ist.
Die Definition der Fakultät über die Multiplikationsreihe hat das natürlich nicht weswegen hier 0! natürlich schon mehr eine Definition ist, aber aus einer Verallgemeinerung des Begriffes der Fakultät und dem leeren Produkt folgt dann auch dieser Wert am Ende direkt.
Ich würde mal allgemein das so als Erklärung zulassen. Im Mathematik Studium wäre so eine Schreibweise natürlich nicht mehr so zulässig.
Also, 0! wurde meines Wissens einfach als 1 definiert.
Und wenn etwas als definiert ist, dann kann man das so hin nehmen! Ist zwar bisschen ne unbefriedigende Antwort, aber so ist das nunmal.
Eine andere Erklärung:
Fakultät ist die Anzahl von Möglichkeiten mit Zahlen kleiner oder gleich der Nummer. Aber weil 0 keine Zahlen kleiner als sich hat gibt es eine Kombination: und zwar dass es keine Kombinationen gibt.
Das ganze kommt von Permutationen:
1!:
1
2!:
1, 2
2, 1
3!:
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
Wie du siehst ist die Fakultät die Zahl der möglichen Kombinationen (Permutationen).
Die Anzahl von Permutation bei 0, ist genau 1 (das es keine Möglichkeit gibt)
0! nennt es auch das leere Produkt.
Hier mehr: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt
Du darfst 0! Nicht als 0 * 0 sehen. Das ist ganz was anderes.
"Ob die 0 eine natürliche Zahl ist (oder bloß eine nicht-negative ganze Zahl), ist umstritten. "
Nein, das ist keineswegs "umstritten" - aber es ist einfach eine Frage der Definition. Man soll halt einfach deklarieren, wie man das in einem bestimmten Zusammenhang halten will.