Ist f stetig auf ganz R?
Sei f : R −→ R
so dass für alle a < b und für alle d zwischen f(a) und f(b) ein c ∈ [a, b] mit f(c) d existiert
für alle y ∈ R sei das Urbild f−1(y) eine endliche Menge
Bitte stelle ein Foto der Aufgabe ein. So ist sie unverständlich.
Siehe bearbeite Frage
2 Antworten
Seien x₀ ∈ ℝ und ε > 0.
Zu zeigen: Es gibt ein δ > 0, sodass |f(x) - f(x₀)| < ε für alle x ∈ ℝ mit |x - x₀| < δ.
Wenn |f(x) - f(x₀)| < ε für alle x ∈ ℝ erfüllt ist, sind wir fertig, ansonsten gibt es ein x ∈ ℝ, sodass |f(x) - f(x₀)| ≥ ε. Nach der ersten Voraussetzung gibt es auch ein x ∈ ℝ, sodass |f(x) - f(x₀)| = ε. Nach der zweiten Voraussetzung gibt es nur endlich viele x ∈ ℝ, sodass f(x) = f(x₀) + ε oder f(x) = f(x₀) - ε. Also können wir davon das x mit dem geringsten Abstand zu x₀ wählen. Wegen ε > 0 und somit f(x) ≠ f(x₀) ist auch δ = d(x, x₀) > 0. Weil das δ minimal ist, gibt es auch keine x mit |x - x₀| < δ, sodass |f(x) - f(x₀)| ≥ ε.
Das ganze ginge auch mit abgeschlossen anstatt endlich, damit es einen Punkt mit minimalen Abstand gibt, der sich um ε von f(x₀) unterscheidet. Ohne diese Bedingung wäre f(x) = sin(1/x) für x ≠ 0 und f(0) = 0 ein Gegenbeispiel.
Hier ist die Funktion f(x) = sin(8/ln|x|) geplottet, weil man hier besser sieht, was passiert, das Prinzip ist aber das gleiche. Man kann beliebig nah an 0 rangehen und trotzdem werden immer wieder alle Funktionswerte zwischen 0 und 1 angenommen, aber die Funktion ist in 0 nicht stetig. Wenn man ε = 1/2 wählt, gibt es kein offenes Intervall um 0, sodass die Funktion dort betraglich immer kleiner als 1/2 ist. Mit der Zusatzbedingung, dass 1/2 oder -1/2 nur endlich oft angenommen wird, wird 1/2 oder -1/2 irgendwann mal zum letzten Mal angenommen, wenn man immer näher an 0 rangeht, sodass sie sich danach immer in der geforderten ε-Umgebung befindet. Der Betrag kann auch nicht größer als ε werden, denn sonst müsste ε nach der ersten Voraussetzung dazwischen auch nochmal angenommen werden, was dann der geforderten Minimalität vom Abstand zu x₀ widerspricht.
Im Allgemeinen gilt die Umkehrung des Zwischenwertsatzes nicht:
https://www.studysmarter.de/schule/mathe/analysis/zwischenwertsatz/
die Konstuktion eines Gegenbeispiels kann aber kompliziert sein. Eventuell ist die Einschränkung auf endliche Urbilder hier hilfreich.