Ist die Krümmung von x^2 konstant?
Hallo,
Die zweite Ableitung von x^2 ist ja 2, also eine Konstante, aber mein Mathelehrer sagt, dass nur ein Kreis eine Konstante Krümmung hat, und deshalb x^2 nicht. Dabei ist ein Kreis doch keine Funktion, oder? Was meint ihr dazu? Habt ihr Beweise?
Liebe Grüße
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2 Antworten
Wenn du an einen Kreis eine Tangente anlegst wirst du immer den gleichen Winkel zwischen Tangente und Kreis haben -> überall gleich starke Krümmung.
Bei x^2 ist das aber nicht so. Sieht man ja schon an der Form. Die Krümmung ist am Scheitelpunkt viel stärker als bei x=7 beispielsweise
Die Krümmung einer Funktion ist definiert als die Veränderung des Tangentenwinkels an einem Punkt entlang der Funktion. Eine Funktion hat eine konstante Krümmung, wenn der Krümmungsradius an jedem Punkt der Funktion gleich ist.
In deinem Fall betrachten wir die Funktion f(x) = x^2. Die Krümmung dieser Funktion ist tatsächlich nicht konstant, da die Krümmungsradien entlang der Funktion variieren. Die Tatsache, dass die zweite Ableitung von x^2 konstant ist (2), bedeutet nur, dass die Krümmung an jedem Punkt der Funktion gleich ist, aber das bedeutet nicht, dass die Krümmung insgesamt konstant ist.
Ein Kreis hat eine konstante Krümmung, weil der Krümmungsradius überall entlang des Kreises gleich ist. Ein Kreis kann nicht als Funktion in der Form y = f(x) dargestellt werden, da für jeden x-Wert zwei y-Werte existieren würden (oben und unten auf dem Kreis).
Ein Beweis dafür, dass die Krümmung von x^2 nicht konstant ist, könnte durch die Berechnung des Krümmungsradius an verschiedenen Punkten der Funktion erfolgen. Du könntest beispielsweise die Formel für den Krümmungsradius in Abhängigkeit von der Ableitung der Funktion ableiten und zeigen, dass er nicht konstant ist.