Ist das Spiel fair?

Ich lerne gerade für eine Mathearbeit und komme nicht voran. Bei dieser Aufgabe hier verstehe ich nicht, warum in den Lösungen bei der Wahrscheinlichkeit genau das steht. Wie kommt man auf die Wahrscheinlichkeiten ( P(X=xi) )

Das hier ist die Aufgabe:

Und das hier die Lösung dazu, jedenfalls die Tabelle:

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Wie kommt man auf die Wahrscheinlichkeiten ( P(X=xi) )

$P\left(X=xi\right)\ =\ \binom{3}{Anzahl}\ \cdot\ \left(\frac{5}{6}\right)^{\left(3-Anzahl\right)}\ \cdot\ \left(\frac{1}{6}\right)^{Anzahl}$

Wobei 5/6 für die Wahrscheinlichkeit steht, dass man keine 6 bekommt (also 1/2/3/4/5) und 1/6 eben für die Wahrscheinlichkeit, dass man eine 6 bekommt.

Im Grunde steht für 0 6er also da:

$P\left(X\ =\ 0\right)\ =\ \binom{3}{0}\ \cdot\ \left(\frac{5}{6}\right)^{\left(3-0\right)}\ \cdot\ \left(\frac{1}{6}\right)^0$ $P\left(X\ =\ 0\right)\ =\ 1\ \cdot\ \frac{125}{216}\ \cdot\ 1$ $P\left(X\ =\ 0\right)\ =\ \frac{125}{216}$

Man berechnet also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man keine 6 und 3 mal eine der anderen Zahlen bekommst. Die Binomialverteilung gibt die Anordnungsmöglichkeiten an.

Und wenn du 125/216 im Taschenrechner eingibst und mit (-1) multiplizierst, was bekommst du raus?

.........................

Bei (3 über 1) bekommt man eben 3 raus. Das bedeutet es gibt 3 Möglichkeiten, wie man eine 6 mit zwei anderen Zahlen anordnen kann. Wenn wir eine 6 mal als X bezeichnen und eine andere Zahl als Y, dann sähe die Verteilung so aus:

XYY
YXY
YYX

Comments

[Schulehausi]

Ich versteh’s immer noch nicht. Das ist voll kompliziert

Answer 2

[DerEinsiedler]

Aber das steht doch genau in der 3. Spalte P(X=xi).

Beispiel Zeile Anzahl 6 = 1: 2 mal keine 6 würfeln (5/6)² und eine 6 würfeln (1/6). Das kann man auf 3 Arten tun (deswegen 3*).

Comments

[Schulehausi]

versteh ich nicht

[DerEinsiedler]

@Schulehausi

was genau verstehst du nicht?

Und wie würdest Du es denn rechnen/denken?

[Schulehausi]

@DerEinsiedler

Ich verstehe nicht, wie man darauf alleine kommen soll.. Ich kann es selber nicht wirklich erklären

[DerEinsiedler]

@Schulehausi

Um bei 3-mal würfel GENAU eine 6 zu würfel gibt folgende mögliche Ereignisse:

- 1. Wurf 6 - 2. Wurf keine 6 - 3. Wurf keine 6

- 1. keine Wurf 6 - 2. Wurf 6 - 3. Wurf keine 6

- 1. keine Wurf 6 - 2. Wurf keine 6 - 3. Wurf 6

Jeder dieser 3 Möglichkeiten hat die Wahrscheinlichkeit 1/6 * 5/6 * 5/6

Alle 3 zusammen haben damit die Wahrscheinlichkeit

1/6 * 5/6 * 5/6 + 1/6 * 5/6 * 5/6 +1/6 * 5/6 * 5/6

= 3 * 1/6 * (5/6)²