integral mathematik?
Gegeben f(x)= 10xe^-1/2x
Ich verstehe nicht wie ich dort vogehen soll kann mir das jemand erklären ?
Der Graph von f schließt mit der x Achse auf dem Intervall [0;a] eine Fläche ein.
Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 35 .
4 Antworten
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Hallo,
F(x)=-20*e^(-0,5x)*(x+2)+C
Soweit hast Du es richtig.
Das Integral der unteren Grenze 0 auszurechnen ist einfach, da e^(-0,5*0) natürlich gleich e^0=1 ist.
So bleibt -20*(0+2)=-40
F(a)-(-40)=35
F(a)=-5 und somit:
-20*(e^-0,5a)*(a+2)=-5 |:(-20)
e^(-0,5a)*(a+2)=0,25
Jetzt kommt das Problem:
Diese Gleichung ist nicht trivial lösbar, weil das a einmal als Faktor und einmal als Exponent erscheint, sprich: Du kannst diese Gleichung nicht nach a auflösen.
Es bleibt also ein Näherungsverfahren wie Newton oder ein Taschenrechner, der Integrale berechnen kann, mit dessen Hilfe Du Dich an a herantastest oder es gibt die Lambertsche W-Funktion, die zu einer Gleichung der Form x*e^x=y tatsächlich den dazugehörigen x-Wert ausspuckt, also die Umkehrfunktion von f(x)=x*e^x darstellt. Allerdings ist die Lambertsche W-Funktion selbst auch nicht trivial lösbar; es gibt aber Programme dafür.
Du mußt also die Gleichung e^(-0,5a)*(a+2)=0,25
in eine Gleichung der Form u*e^u=c umstellen, wobei c eine Zahl ist, die nicht mehr von einer Variablen abhängt.
Dazu multiplizierst Du die Gleichung zunächst mit -0,5, damit der Faktor dem Exponenten gleich wird. Du mußt aus dem Faktor a ein -0,5a machen:
e^(-0,5a)*(-0,5a-1)=-0,125
Nun mußt Du noch die -1 aus dem Faktor in den Exponentne bekommen, indem Du mit e^(-1) multiplizierst, denn a^x*a^y=a^(x+y):
e^(-0,5a-1)(-0,5a-1)=-0,125e^(-1)=-0,04598493015
Diesen Wert gibst Du in ein Programm ein, das Lambert-W beherrscht und bekommst für (-0,5a-1) zwei Lösungen:
-0,5a-1=-0.0482585 und -0,5a-1= -4.60702354
Das nach a aufzulösen sollte kein Problem mehr darstellen.
Da anscheinend eine Fläche rechts von der y-Achse gesucht ist, nimmst Du die positive Lösung von a.
a=7,21404708
Auf der linken Seite bekommst Du die gleiche Fläche, wenn Du für a den Wert
-1,90348298 einsetzt.
Herzliche Grüße,
Willy
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Lambert W kann der Taschenrechner nicht.
Integrale sollte er können oder Gleichungen lösen.
Da mußt Du Dir die Beschreibung des Rechners durchlesen.
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Hallo, ich habe vom Taschenrechner -1,90348... raus wie komme ich auf a= 7,21404...
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Der Taschenrechner benutzt ein Näherungsverfahren und liefert die Lösung, die seinem internen Stratwert am nächsten kommt.
Du mußt Dich über die Integralfunktion an die obere Grenze herantasten.
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Liegt dein Problem bei dem Exponenten, also wenn da steht e^(-a/2)
e^(1/2) ist die Quadratwurzel aus e (einfach eine andere Schreibweise)
e^(2/3) ist die Qubikwurzel aus e²
e^(-1/2) ist 1/( die Quadratwurzel aus e )
und jetzt alles zusammen:
e^(-a/2)= 1/(die Quadratwurzel aus e^a )
Hilft dir das Weiter?
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Meinst du e^((-1/2)x) oder e^(-1/(2x)) ?
Als erstes würde ich die Stammfunktion berechnen.
Dann die Grenzen einsetzen, also 0 und a, und den Wert errechnen.
Du wirst irgendeinen Term erhalten, wo a drin vorkommt.
Diesen Term setzt du dann =35 und stellst nach a um.
Soweit klar ?
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Die Stammfunktion lautet -20(x+2)*e^-1/2x und wenn ich in a einsetze weiß ich nicht wie ich umformen soll
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f(x)= 10x e^-1/2x
So wie du das geschrieben hast, lautet f(x) = 10*x/(2*x*e) = 5/e , das ist eine Konstante.
Sollte dies nicht so gemeint sein, benutze den Formeleditior hier oder setze Klammern, damit korrekt abzulesen ist, was du meinst.
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Und steht das x im Exponenten unter dem Bruchstrich, also 1/(2x), oder nicht, also wie (1/2)*x. Das ist ein Unterschied und für die Berechnung der Aufgabe wichtig
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ich habe es hochgeladen http://prntscr.com/l1mtum
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Was du hier schreibst, bedeutet
10x e-x/2
ich nehme aber an, auch das meinst du nicht, oder? Nochmal: setze die Klammern korrekt, dann sparst du dir die Formatiererei.
Vorgangsweise wie von Igrid beschreiben.
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damit meine ich das im exponenten von e -1/2x steht.
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danke aber ,das ist echt kompliziert habe ein taschenrechner geht das nicht einfach mein taschenrechner : casio fx cg 20