Injektivität einer Matrix?
2 Antworten
Eine zu einer Matrix gehörige lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Matrix vollen Spaltenrang hat. Also wenn der Rang der Matrix gleich der Spaltenanzahl der Matrix ist.
Außerdem ist hier hilfreich: Der Rang einer Matrix ist kleiner oder gleich dem Minimum aus Zeilenanzahl und Spaltenanzahl.
Siehe beispielsweise auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik)#Eigenschaften
Im konkreten Fall ist rang(A) ≤ min(3, 4) = 3 < 4. Der Rang der Matrix A ist demnach kleiner als die Spaltenanzahl. Die Matrix A hat nicht vollen Spaltenrang. Eine zugehörige lineare Abbildung kann demnach nicht injektiv sein.
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Edit: Ich hatte die Aufgabe nicht richtig gelesen. Ich schreibe gleich nochmal etwas dazu.
Sorry, es sollte gezeigt werden, dass es nicht injektiv ist. Habe das vergessen. Aber im prinzip hast du ja genau das gezeigt. Dickes SORRY nochmal, wir schreiben morgen Klausur und wir haben diese Altklausuraufgabe erst heute bekommen (stressig).. :( Tut mir leid, ich gelobe Besserung! Danke dir für alles!
Deine Matrix beschreibt ja eine lineare Abbildung, deshalb ist doch diese Abbildung genau dann injektiv, wenn Kern(M(f)) = {0} ist, oder nicht?
D.h. es gilt zu überprüfen, für welche Vektoren "x" folgendes Gleichungssystem erfüllt ist: Ax = 0
Besteht die Menge der Vektoren nur aus dem Nullvektor (triviale Lösung), dann ist die Abbildung injektiv.
Oder geht es noch um etwas anderes?
Schau mal hier:
https://www.dropbox.com/s/zrdf71er5hb9sut/gfw0007.pdf?dl=0
Da habe ich aufgeschrieben, was an der Aufgabenstellung nicht passt.
So wie die Aufgabe gestellt ist, ist sie nicht lösbar. Denn das, was man zeigen soll, ist falsch.