Ich verstehe nicht, wie man auf das Ergebnis kommt?
3 Antworten
Du kannst aus der Zeichnung ablesen, dass die Punkt (4,0,0), (0,3,0) und (0,0,6) auf der Ebene liegen, dass sind gerade die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
Jetzt hast du als Ansatz für die Ebenengleichung in der Parameterform:
a x_1 + b x_2 + c x_3 = 1
Wenn du die drei Punkte von oben da einsetzt, dann bekommst du
a * 4 = 1 => a = 1/4
b * 3 = 1 => b= 1/3
c * 6 = 1 => c =1/6
Eine mögliche Parameterform wäre also
1/4 x_1 + 1/3 x_2 + 1/6 x_3 = 1.
Da man aber lieber ganze Zahlen als Brüche als Parameter hat, multipliziert man diese Gleichung mit dem Hauptnenner, also dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, und das ist hier 12:
12 *1/4 *x_1 + 12*1/3 * x_2 + 12 * 1/6 * x_3 = 12 und bekommt
3 x_1 + 4 x_2 + 2 x_3 = 12.
Wenn du das dann tausendmal gemacht hast und wirklich verstanden hast, wie es geht (und erst dann, keine Minute früher!) , musst das gar nicht mehr im Einzelnen aufschreiben, sondern weißt gleich: Wenn die Achsenabschnitte der Ebene a_1, a_2 und a_3 sind (also hier: 4, 3 und 6) sind, dann berechne ich zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Werte (hier 12) und kann dann direkt aufschreiben:
kgv/a_1 * x_1 + kgv/a_2 * x_2 + kgv/a_3 * x_3 = kgv
Neija zuersteinmal würde ich die Spurpunkte bestimmen. Sie sind P1(4/0/0), P2(0/3/0) und P3(0/0/6).
Nun bildet man aus diese zwei unterschiedliche Strecken die in der Ebene liegen. Bspw. P1P2 mit -4 3 und 0 und P1P3 mit 0 3 und -6.
Um nun den resultierenden Normalenvektor zu berechnen, also denjenigen der zur Ebene Ortogonal steht und an dem sich die Ebene aufzieht, verwendet man das Kreuzprodukt. Es gilt N(Normalenvektor) = P1P2❌ P1P3
Man erhält als Normalenvektor 18/24/-12 oder gekürzt 3/4/-2
Für die Ebene gilt nun: 3x1 + 4x2 - 2x3 = d
Um letztendlich die Position der Ebene am Normalenvektor zu erhalten setzt man nurnoch einen Punkt der Ebene E1 in die Ebenenschar ein, also bspw. P1 und erhält für d=12
Hoffe das war einigermaßen verständlich 😅
ich denke ,du verstehtst nicht , wie man auf das Ergebnis kommt ???
Eine Ebene ist eindeutig durch drei Punkte definiert. Das bedeutet wenn du drei Punkte kennst die auf deiner Ebene liegen, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen:
a*x1 + b*x2 + c*x3 = d
So sieht dann eine Gleichung aus, wobei du für x1 , x2 und x3 deine Punktkoordinaten jeweils reinschreibst. Das d kannst du als Variable sehr leicht eliminieren, da das in jeder Gleichung gleich ist.
LG
Joschua Pallentin
Ja, so habe ich es auch gemacht