Ich soll ein Doppeltes Flächen-Integral von einem Dreieck berechnen mit den Punkten (0;0) (1;0) und (0;2). Welche Rechenschritte muss ich benutzen?

wenn Du das Integral als Rechenschritt bilden willst, dann multiplizierst Du einfach das einfache Dreiecks-Integral mit dem Faktor 2.

also (Integral) dxdy mit (x-von-0-bis-1) und (y-von-0-bis-2)

d.h. (integral) 1 dy - (Integral) 0 dy mit (y-von-0-bis-2)

-- immer Integral an der oberen Grenze (minus) an der unteren Grenze --

und das ist (weil Integral 0 dy = 0 wegfällt)

= 2 - 0 (weil auch die untere Grenze von y ja Null war) = 2

Einfacher geht es auch, wenn Du aus Symmetriegründen das einfache Integral des doppelten Dreiecks nimmst, und das ist ein Rechteck mit den Eckpunkten 0/0 1/0 1/2 0/2 , gegen den Uhrzeigersinn numeriert. 

Dieses Rechteck hat die Fläche 1x2 = 2 (no na, muss ja gleich sein) ...

Was für ein doppeltes Integral? Das Dreieck hat eine von den Achsen verschiedene Seite, die sich mit den beiden Punkten als Gerade darstellen lässt, sogar nach der Achsenabschnittsformel
x/1 + y/2 = 1.    Dann ist die Geradengleichung
y = -2x + 2

Und das wird dann von 0 bis 1 integriert. Dann hast du die Fläche des Dreiecks.

Die Probe kannst du dann im Kopf machen (kleine Skizze).