Höhe im gleichseitigen Dreieck h=a/2 Wurzel 3 An kenner x) hilfe bitte
Heya :) Zeige das für die Höhe im gleichseitgen Dreieck gilt : h=a/2 Wurzel 3
Ich verstehe alles bis auf den Teil
a² - (1/2 a)² = h² bzw.: √(a² - 1/4 a²) = h
und damit √(3/4 a²) = h √3 * √1/4 * √a² = h √3 * 1/2 * a = h
also: h = a/2 * √3
Wie kommt der von 1/2a auf 3/4 a? etc :D, also ich verstehe nichts mehr ab dem Teil "und damit".
Hier der Original Link : https://de.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110928104000AAUZVY2
Wäre echt super wenn mir das so ein MatheAss erklären könnte x)
4 Antworten
Also wir haben: h = a / 2 * wurzel(3)
Was haben wir noch? Wenn man das gleichseitige Dreieck in der Mitte senkrecht durchsägt, haben wir 2 Dreiecke mit jeweils einem rechten Winkel. Für die gilt:
Den Satz den Pythagoras (abgewandelt wegen dem gleichen a - habe einfach einen Buchstaben weiter genommen): b^2 + c^2 = d^2. Diesen können wir ja umschreiben, da unsere Seiten des Dreiecks (Dreieckhälfte) ja h, a, und a/2 sind. Nun setzen wir diese ein.
Die erste Kathete (b) = a/2
Die zweite Kathete (c) = h
Die Hypotenuse (d) (gegenüber vom rechten Winkel) = a
Also erhalten wir: (a/2)^2 + h^2 = a^2
oder umgeschrieben (-(a/2)^2):
h^2 = a^2 - (a/2)^2
So, das vereinfachen wir mit (a/2)^2 = (a^2)/4= 1/4 * a^2 zu
h^2 = a^2 - 1/4 * a^2
jetzt können wir vor dem ersten a^2 eine 1* oder auch 4/4* schreiben, da ja alles dass mit 1 multipliziert wird, wieder sich selbst ergibt. (das mache ich jetzt nur um es über-deutlich darzustellen, kannst hier auch abkürzen). Wir bekommen also:
h^2 = 4/4 * a^2 - 1/4 * a^2
so und nun: Was ist ein ganzer (4/4) Apfel minus ein viertel Apfel? genau 3/4! Also:
h^2 = 3/4 * a^2
jetzt schreiben wir das ein wenig um:
h^2 = 3 * 1/4 * a^2 oder auch h^2 = 3 * (1/2)^2 *a^2
hieraus kann man dann folgendes bilden:
h^2 = 3 * (a/2)^2
jetzt musst du nur noch die Wurzel ziehen:
h = wurzel(3) * a/2
oder um es genau wie in der Aufgabenstellung zu schreiben: h = a/2 * wurzel(3)
Wenn es immer noch nicht klar ist, einfach nochmal fragen!
Du musst ja 1/2 a quadrieren, also auch das 1/2, ergibt also 1/4 a²
h²=a-1/4 a²
=4/4 a² - 1/4 a²
=3/4 a²
Daraus die Wurzel ziehen
h=√(3/4 a²) aus 4 und a kann man die Wurzel ziehen
=√(3)/2 a
Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. Dann lässt sich mit dem Pythagoras die Höhe errechnen...
Alles andere sind vereinfachende Rechenwege...
http://www.mathematik-wissen.de/gleichseitiges_dreieck_flaecheninhalt_hoehe.htm
Hab ich ja x(, ich bin ja eben hier, weil ich es nicht verstehe :/. trozdem danke :3
h² = a² - (1/2 a)² ist Pythagoras
dann Klammer lösen; h² = a² - 1/4 a² jetzt Bruchrechnung; 1a² - 1/4 a² = 3/4 a²
jetzt wegen h² = muss man Wurzel ziehen; aus /4 und a² kann man ziehen und √3 bleibt stehen;
also h = 1/2 a * √3 oder anders geschrieben: h = a/2 * √3
Okay, aber ich hab kein plan, was die Wurzel 3 da zu suchen hat x)