Hilfe zu einer Extremwertaufgabe?
Die Aufgabe Lautet: In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge l soll ein Möglichst großes Rechteck einbeschrieben werden. Wie lange sind die Rechteckseiten a und b?
Die Frage dich ich mir stelle kann man die Aufgabe überhaut lösen man braucht doch zB die Länge von l sonst kann es ja unendlich groß sein oder kann man sie doch lösen ?
1 Antwort
Hallo,
Du kannst die Aufgabe in Abhängigkeit von l lösen.
Zeichne das Dreieck so in ein Koordinatensystem ein, daß die Grundseite auf der x-Achse liegt mit dem Nullpunkt in der Mitte und die Höhe mit der Spitze des Dreiecks auf der y-Achse.
Punkt A liegt dann bei (-l/2|0), Punkt B bei (l/2|0) und C bei (0|...) Die y-Koordinate von Punkt C bekommst Du dann (auch in Abhängigkeit von l) über den Satz des Pythagoras heraus, denn die Hypotenuse l und eine Kathete l/2 sind ja bekannt..
Dann betrachtest Du aus Symmetriegründen nur die Hälfte des Dreiecks, die sich rechts von der y-Achse befindet.
Finde die Funktionsgleichung f(x) der Geraden durch C und B.
Die Fläche des halben Rechtecks ist dann x*f(x).
Ableiten und auf Null setzen ergibt den x-Wert in Abhängigkeit von l für den maximalen Flächeninhalt. Rechteckseiten: a=2x max, b=f(x max).
Zur Kontrolle: x max=l/4
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn Du keine Lust auf eine Geradengleichung hast:
Fläche vom halben Rechteck =x*(l/2-x)*tan (60°), denn das Dreieck ist gleichseitig mit drei 60°-Winkeln.
Ableiten, auf Null setzen.durch tan (60°) kürzen. Das geht am schnellsten.