Hilfe bei Extremalwert aufgabe?
Hab echt kein Plan wie ich die Aufgabe lösen kann.
4 Antworten
f(x)=1/12*x^2-x+5 mit x=0 y=5 und x=12 y=5
Fläche vom "rechtwinkligen Dreieck"
A=1/2*a*b
aus der Zeichnung ergibt sich
a=5-f(x)=5-(1/12*x^2-x+5)=5-1/12*x^2+x-5
a=-1/12*x^2+x
b=12-x
eingesetzt
A(x)=1/2*(-1/12*x^2+x)*(12-x)
1/2*(12-x)=6-1/2*x
(-1/12*x^2+x)*(6-1/2*x)=-1/2*x^2+6*x+1/24*x^3-1/2*x
A(x)=1/24*x^3-x^2+6*x nun die Extrema bestimmen
A´(x)=0=1/8*x^2-2*x+6 Nullstellen bei x1=4 und x2=12
habe ich mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt
A´(x)=1/8*x^2-2*x+6 ist eine Parabel
In "Handarbeit" ermittelt man die Nullstellen mit der p-q-Formel
Das schaffst du selber.
nun prüfen,ob x=4 ein "Maximum" ist
A´´(x)=1/4*x-2 ergibt A´´(4)=4/4-2=-1<0 also ein "Maximum"
Als Ergänzung zu Willy1729:
Deine Lösungen sind richtig!
Für den Definitionsbereich der Flächenfunktion A musst Du beachten, für x-Werte für diese Anwendung sinnvoll sind. [Die Funktion A selbst ist für alle reellen Zahlen definiert.]
Nach Zeichnung muss x zwischen 0 und 12 liegen.
Ob Du die beiden Ränder mit in den Def.-Bereich einbeziehst oder nicht, liegt in Deinem Ermessen. Ich nehme sie meist mit, dies ist für die Randwertbetrachtung (soweit Ihr die macht) aus taktischen Gründen sinnvoller.
Hallo,
die Fläche eines Dreiecks berechnet sich aus halbe Grundfläche mal Höhe.
Da es sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst Du eine Kathete als Grundseite nehmen, die andere als Höhe.
Grundseite sei die Parallele zur x-Achse, also 12-x.
Höhe ist 5-f(x)
Halbe Grundseite mal Höhe ist also (6-x/2)*(5-x²/12+x-5)=(6-x/2)*(-x²/12+x).
Ausmultiplizieren, Ableitung auf Null setzen und prüfen, welche der beiden Lösungen ein Maximum bilden.
Herzliche Grüße,
Willy
Der ist doch schon angegeben: x ist eine Zahl zwischen 0 und 12.
Meine Antwort bezog sich übrigens auf Übung 4.
Ich habe jetzt für eine Extremstelle der Flächengleichung x=4 raus. Für die Aufgabe müsste ich ja die 4 erstens in die Flächengleichung einsetzten um die Fläche rauszubekommen, als auch in die f(x) um die Koordinate zu bekommen, nicht wahr?
Perfekt. Die Fläche hat 32/3 FE, nämlich 4*(5-7/3)=4*(15/3-7/3)=4*8/3
4 ist das richtige Ergebnis.
Stell dir vor du hast ein Rechteck. Jetzt halbierst du es entlang der Diagonalen. Was ist die Fläche des Dreieck? Na die Hälfte vom Rechteck, also A=a*b*½. a=12-x. b=5-f(x). Jetzt kennst du die Formel für A. Wann ist A maximal, also wo ist HP von A? Ableitung! Nullstellen! Bitte sehr :) A'=¼*x^2-4*x+12. A'=x^2-16*x+48 x¹'²=8+-4 also ist auch 12 richtig, aber entfällt weil A maximal wäre, aber maximal klein, nämlich 0.
Danke. Ich hätte da aber noch eine Frage; Wie kann ich den Definitionsbereich bilden für x ?