Hey, kann mir jemand helfen?

Answer 1

[mihisu]

Inwiefern „helfen“? Ich kann dir die Aufgabe lösen. Aber ob dir das hilft...?

Du solltest wissen, wie man das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet. Im konkreten Fall erhält man beispielsweise...

$\vec{a}\bullet \vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

Das Skalarprodukt kann man also so berechnen, indem man die erste Komponente des ersten Vektors mit der ersten Komponente des zweiten Vektors multipliziert, die zweite Komponente des ersten Vektors mit der zweiten Komponente des zweiten Vektors multipliziert, die dritte Komponente des ersten Vektors mit der dritten Komponente des zweiten Vektors multipliziert, und dann diese Produkte aufsummiert.

[Außerdem solltest du für die Teilaufgaben c) und d) auch wissen, wie man Vektoren addiert und den Betrag eines Vektors bildet.]

Um nun die Aufgaben zu lösen, würde ich empfehlen zunächst beide Seiten der gegebenen Gleichung auszurechnen, soweit du kannst. Und dann solltest du schauen, wie du die linke Seite so mit Äquivalenzumformungen umformen kannst, bist du die rechte Seite erreichst.

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Hier mal ein eigenes Beispiel [ähnlich zur Aufgabe c)].

Ich möchte zeigen, dass allgemein für drei Vektoren

$\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\,\quad\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\,\quad\vec{c}=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$

in ℝ³ die Gleichung

$\vec{a}\bullet \left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\bullet \vec{b}+\vec{a}\bullet\vec{c}$

gilt.

Dafür berechne ich zunächst die linke Seite...

$\vec{a}\bullet \left(\vec{b}+\vec{c}\right)$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \left(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}\right)$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix}b_1+c_1\\b_2+c_2\\b_3+c_3\end{pmatrix}$

$=a_1\cdot\left(b_1+c_1\right)+a_2\cdot\left(b_2+c_2\right)+a_3\cdot\left(b_3+c_3\right)$

$=a_1\cdot b_1+a_1\cdot c_1+a_2\cdot b_2+a_2\cdot c_2+a_3\cdot b_3+a_3\cdot c_3$

... und die rechte Seite...

$\vec{a}\bullet \vec{b}+\vec{a}\bullet\vec{c}$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$

$=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot c_3+a_1\cdot c_1+a_2\cdot c_2+a_3\cdot c_3$

Vergleicht man nun das miteinander, was man auf den beiden Seiten erhalten hat, kann man feststellen, dass es das gleiche ist. Nur die einzelnen Summanden sind vertauscht, was aber kein Problem ist, da die Addition reeller Zahlen kommutativ ist.

Setzt man das nun zusammen erhält man also...

$\vec{a}\bullet \left(\vec{b}+\vec{c}\right)$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \left(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}\right)$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix}b_1+c_1\\b_2+c_2\\b_3+c_3\end{pmatrix}$

$=a_1\cdot\left(b_1+c_1\right)+a_2\cdot\left(b_2+c_2\right)+a_3\cdot\left(b_3+c_3\right)$

$=a_1\cdot b_1+a_1\cdot c_1+a_2\cdot b_2+a_2\cdot c_2+a_3\cdot b_3+a_3\cdot c_3$

$=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot c_3+a_1\cdot c_1+a_2\cdot c_2+a_3\cdot c_3$

$=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\bullet\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$

$=\vec{a}\bullet \vec{b}+\vec{a}\bullet\vec{c}$

... womit die Gleichung ...

$\vec{a}\bullet \left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\bullet \vec{b}+\vec{a}\bullet\vec{c}$

... gezeigt wurde.