Heronsche Flächenformel Herleitung?
Hey:)
Also, durch die Frage, die ich vorher gestellt hatte, bin ich zur heronschen Flächenformel gekommen (A= s*(s-a)*(s-b)*(s-c). Mein Lehrer meinte aber, ich darf die Formel in der Klausur nur benutzen, wenn ich die Herleitung habe. Leider habe ich keinen Plan, wie ich die herleiten soll.
Ich würde mich sehr über Antworten freuen:)
dankeschönnn
2 Antworten
Hallo,
bei einem beliebigen Dreieck mit Grundseite unten c, rechts a und links b und der Höhe auf c gilt A (Fläche) gleich h*c/2, die Fläche ist also die halbe Grundseite mal der dazugehörigen Höhe.
Die Höhe teilt die Grundseite in zwei Abschnitte. Nenne den links vom Höhenfußpunkt p, den rechts davon q. Da diese beiden zusammen die Seite c ergeben, ist q=c-p.
Nun kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden, denn die Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.
Im linken Dreieck mit Seite b und Abschnitt p gilt h²=b²-p², im rechten Dreieck gilt
h²=a²-(c-p)².
Da h² auf zwei unterschiedliche Weisen dargestellt wird, kann man diese Weisen gleichsetzen. Es gilt also b²-p²=a²-(c-p)², denn beide Terme sind dasselbe wie h².
Ausmultiplizieren des Quadrats rechts nach der zweiten binomischen Formel ergibt b²-p²=a²-(c²-2pc+p²).
Auflösen der Klammer:
b²-p²=a²-c²+2pc-p².
Da auf beiden Seiten der Gleichung -p² erscheint, heben sich beide auf und können gestrichen werden.
b²=a²-c²+2pc.
2pc isolieren:
2pc=b²-a²+c².
Nun durch 2c teilen:
p=(b²-a²+c²)/(2c).
Die Formel des Heron arbeitet nur mit den Seiten a, b und c und nicht mit der Höhe oder einem Abschnitt der Grundseite. Daher muß in der Herleitung das p ersetzt werden. Das ist nun gelungen. Du hast einen Ausdruck für p, der nur noch aus Termen mit a, b und c besteht.
Nun muß noch h ersetzt werden, denn auch h kommt in der Formel des Heron nicht vor. Da h²=b²-p² und p=(b²-a²+c²)/(2c) und p² daher (b²-a²+c²)²/(2c)², kannst Du nun h² durch Terme ausdrücken, in denen nur noch a, b und c vorkommen:
h²=b²-(b²-a²+c²)²/(2c)².
Aus (2c)² im Nenner kannst Du 4c² machen.
Außerdem kannst Du b² durch Erweiterung mit 4c² mit auf den Bruchstrich bringen:
h²=[4b²c²-(b²-a²+c²)²]/(4c²).
Nun ist A, die Fläche, nach der herkömmlichen Formel wie gesagt gleich halbe Grundseite mal Höhe, hier also (c/2)*h.
A² ist dann (c²/4)*h², also das Quadrat dieser Formel.
h² ist wie gezeigt gleich [4b²c²-(b²-a²+c²)²]/(4c²). Setzt Du dies in die Formel für A² ein, erhältst Du (c²/4)*[4b²c²-(b²-a²+c²)²]/(4c²). c² kürzt sich weg und aus (1/4)*(1/4) wird 1/16.
Die Formel für A² lautet daher:
A²=(1/16)*[4b²c²-(b²-a²+c²)²].
Das wäre im Grunde schon die Formel des Heron. Man müßte nur auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, da man ja A und nicht A² berechnen will.
Sie besteht nur noch aus den Seiten a, b und c und darum geht es ja: Die Fläche eines Dreiecks soll berechnet werden, von dem man nur die Länge der drei Seiten kennt und weder einen Winkel noch eine Höhe.
Allerdings sieht diese Formel noch ein wenig anders aus, denn nach der Formel des Heron ist A²=s*(s-a)*(s-b)*(s-c), wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ist, also (a+b+c)/2.
Wie wird nun die Formel, die ich hergeleitet habe, zu der Formel des Heron umgeformt?
Der Satz des Pythagoras hat inzwischen seine Schuldigkeit getan und kann gehen.
Was nun nötig ist, sind die binomischen Formel, von denen die zweite bereits aufgetaucht war.
Jetzt ist die dritte binomische Formel interessant, die in der Grundform so lautet:
a²-b²=(a+b)*(a-b).
Sieh Dir [4b²c²-(b²-a²+c²)²] mal genau an. Es handelt sich um die Differenz zweier Quadrate und die Differenz zweier Quadrate kann nach der dritten binomischen Formel umgewandelt werden. Die beiden Quadrate lauten 4b²c² und (b²-a²+c²)² und ihre Differenz kann man umwandeln in ein Produkt, das zum einen aus der Summe der Wurzeln dieser beiden Quadrate besteht und einmal aus der Differenz derselben. Die Wurzel aus 4b²c² ist 2bc und die Wurzel aus (b²-a²+c²)² ist natürlich (b²-a²+c²), Du läßt einfach das Quadrat an der Klammer weg.
Somit ist 4b²c²-(b²-a²+c²)² gleich [2bc-(b²-a²+c²)]*[2bc+(b²-a²+c²)].
Die runden Klammern innerhalb der eckigen können aufgelöst werden, aus den eckigen können runde Klammern werden, weil man nun eine Klammerebene weniger hat:
(2bc-b²+-a²-c²)*(2bc+b²-a²+c²).
Umsortieren:
(a²-b²+2bc-c²)*(b²+2bc+c²-a²).
Wenigstens in der zweiten Klammer sollte Dir die erste binomische Formel ins Gesicht springen. Aus b²+2bc+c² kannst Du (b+c)² machen.
Bei der ersten Klammer setzt Du eine weitere: a²-(b²-2bc+c²). Hier taucht die zweite binomische Formel auf:
a²-(b-c)².
Das ergibt [a²-(b-c)²]*[(b+c)²-a²]. Da sind die eckigen Klammern wieder zurück, was soll's?
Wichtig ist, daß in den beiden eckigen Klammern wieder Differenzen von Quadraten auftauchen. Nun weißt Du, daß das nach der dritten binomischen Formel schreit und formst wohlgemut in Differenzen in den beiden eckigen Klammern in Produkte um: Aus [a²-(b-c)²] wird [a+(b-c)]*[(a-(b-c)], was nach Auflösen der runden Klammern und Ändern der eckigen zu runden Klammern (a+b-c)*(a-b+c) ergibt.
[(b+c)²-a²] ergibt ebenfalls nach der dritten binomischen Formel
(b+c+a)*(b+c-a).
Das ergibt insgesamt (a+b-c)*(a-b+c)*(b+c+a)*(b+c-a), vor das noch der Faktor 1/16 gehört, der blieb die ganze Zeit außen vor, weil er für die Umformerei uninteressant war, solange man ihn am Ende nicht vergißt.
Umsortieren: (a+b-c)*(a+c-b)*(a+b+c)*(b+c-a).
Umsortieren der Klammern:
(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c).
Davor 1/16 ergibt
A²=(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c).
Wenn s gleich (a+b+c)/2 ist, dann ist a+b+c=2s.
b+c-a ist gleich a+b+c-2a, also 2s-2a; (a+c-b) ist gleich (a+b+c-2b), also 2s-2b und (a+b-c) ist gleich (a+b+c-2c), also 2s-2c.
Du bekommst daher (1/16)I*(2s*(2s-2a)*(2s-2b)*(2s-2c).
Ziehst Du nun aus jedem Produkt mit s die 2 heraus, erhältst Du
(1/16)*2s*2(s-a)*2(s-b)*2(s-c).
Da 2*2*2*2=16 und vor dem Produkt 1/16 steht, heben sich 1/16 und die ganzen Zweier auf.
Es bleibt A²=s*(s-a)*(s-b)*(s-c) und A=√[s*(s-a)*(s-b)*(s-c)].
Das ist die Formel des Heron in Reinform, hergeleitet mit Hilfe des Satzes des Pythagoras und der drei binomischen Formeln und grundlegender Rechengesetze.
Herzliche Grüße,
Willy
Schau mal dieses PDF-Dokument an. Dort steht im Abschnitt 3.2 ein "Beweis mithilfe des Satzes von Pythagoras"
Der Beweis in Abschnitt 3.2 dort ist meiner Meinung nach der einfachste Beweis (Herleitung) der Formel, den man so finden kann und der auch mit den üblichen mathematischen Kenntnissen aus der Schule nachvollziehbar ist. Einfacher wird es nicht.
Ich verstehe es trotzdem nicht😭 aber dankö