Halbwertszei Physik :S
Hallo zsm :)
kann mir jemand die Formel : N (t) =N0 (1/2) ^ t / T1/2 mit Hilfe eines Beispiels/ Aufgabe eerklären ? Und wann benutzt man die Formel y=ae ^bx haben beide Formeln überhaupt ein Zusammenhang?
Danke schonmal :)
3 Antworten
Beide Formeln beschreiben den gleichen Sachverhalt. Erste Formel: setze für t null ein (Anfangszustand) "Irgendwas hoch null ist 1", also N(0) = No (Anfansmenge, logisch!). Setze für t T1/2: Exponent ist dann 1, also N(T1/2) = 1/2 No (logisch, so ist die Halbwertszeit definiert!). Zu jeder beliebigen Zeit ergibt sich so die Halbwertszeit.
Physiker lieben die Basis e (Funktionswert und Steigung stimmen überein).
Setze x = t = 0: e hoch null ist 1 (vgl. oben), also a = No. Setzt man für t T1/2, muss e^bT1/2 = 1/2 sein, damit sich 1/2 a bzw. 1/2 No ergibt. Das erreicht man, wenn b = -ln 2 durch T1/2 ist (den Wert nennt an auch Zerfallskonstante). Setzt man jetzt für t T1/2 ein, kürzt sich das raus und e hoch -ln 2 ist (1 durch e hoch ln 2) (negativer Exponent bewirtkt Kehrwert). e hoch ln 2 ist aber 2 (Umkehrfunktion), also ist der Faktor 1 durch zwei, sprich 1/2, wie das für Halbwertszeit sein sollte!
Da es dir ja in erster Linie wohl darauf ankommt zu sehen, inwieweit diese beiden Formeln denselben Sachverhalt beschreiben, begucken wir erst einmal
N (t) =N0 (1/2) ^ t / T1/2
Das sieht etwas unglücklich aus, weil es im Heft wesentlich besser kommt mit den Hochzahlen usw.
N(t) = Endwert
N0 = Anfangswert
Dahinter steht oben dann eigentlich ein * (mal)
1/2 ist der Wachstumsfaktor der angestrebten Halbierung, eben auf die Hälfte.
Der Exponent ist völlig daneben. Er soll bedeuten: Anzahl der Jahre, in der die Hälfte zerfällt (vermutlich ein Doppelindex.
Das erinnert ganz schwach an y = c * a^x, was hier in Wirklichkeit gemeint ist.
Ich mache mal ein Beispiel:
N0 = 1000 kg Anfangsmenge
t/T1/2 = 3 Jahre Zerfallzeit
Dann ist N(t) = 1000 * (1/2) ^ 3 = 1000 * (1/8) = 125 kg
Das kann man sogar im Kopf verifizieren: 1000 - 500 - 250 - 125
Nach 3 Jahren sind tatsächlich 125 kg übrig.
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Ich schreibe das jetzt weg, damit es schon mal im Thread steht und ich es nicht mehr durch zu breite Finger verunstalten kann.
Kommen wir zum Teil 2
Vorauszuschicken ist, was Wechselfreund schon festgestellt hat, dass Mathematiker aus übergeordneten Gründen gelegentlich etwas komplizierte Darstellungsformen haben. So gilt
b = e ^ ln (b)
Das kann man schnell ableiten (5. Log-Gesetz). Das soll uns hier nicht aufhalten. Es ist halt so. Deshalb gilt auch: 1/2 = e ^ ln (1/2).
Dann sind einige andere Namen verwendet worden, und ich schreibe schon mal gleich die Zahlen für unser Beispiel dahinter:
y = N(t) = Endmenge (wollen wir ausrechnen)
a = N0 = Anfangsmenge = 1000 kg
1/2 = e ^ln (1/2) = Zerfallsfaktor 1/2 (das ist ganz oben das b)
x = t/T1/2 = 3 Jahre Zerfallzeit
Dadurch entsteht die Formel:
y = 1000 * e ^ (ln ((1/2)) * 3) = 125 kg
Na, also!
Also irgendwie verstehe ich die Gleichung gerade nicht.
Soll die 1/2 am Schluss ein Index von T sein?
Wenn nicht, hättest du N(t) = N0 * (1/2)^t/T * 1/2 = N0 * (1/2)^t/(2T) oder, wenn die 1/2 ein Faktor im Nenner ist, 2*N0*(1/2)^t/T
Aber eigentlich ist die Formel in meinen Augen so noch nicht ganz richtig, denn in der Potenz darf nicht einfach eine Zeit stehen.
Du hast in der Potenz das Produkt aus deiner Zeit t, und aus einem Konstanten Faktor λ, welcher dir sagt, wie viel Prozent in welcher Zeit abwächst, weswegen λ immer negativ sein muss, wenn es sich um einen Abwachs handelt. (Da λ als Einheit 1/sekunde und t die Einheit Sekunde hat, kürzen sich beide Sekunden heraus, und du hast als Potenz nur noch eine Zahl ohne Einheit stehen.)
Dann ist das die Potenz der Basis e. e ist einfach die Eulerzahl 2,7878... welche bei solchen Sachen immer die Konstante Basis ist. (Warum genau, weiß ich jetzt zugegebenermaßen auch nicht, aber das hat Euler zumindest herausgefunden.)
Somit ist N(t) = N0 * e^(-λ*t)
Und ja, beide Gleichungen haben etwas mit einander zu tun, denn mit nach einem bestimmten Zeitraum t, hast du nur noch , als Beispiel, 70 Prozent der Teilchenzahl vom vorherigen Wert. Dan von diesem neuen Wert wieder 70 %, wenn wieder die Zeit t verstrichen ist, usw.
Jetzt willst du ja wissen, zu welchem Zeitpunkt du nur noch N0/2, also die Häflte deiner ursprünglichen Teilchenzahl hast.
Du weißt ja, wie groß dein N0 ist, und somit auch wie groß dein N(t) ist, denn durch 2 teilen ist nicht das aller komplizierteste! :D
Somit hast du N0/2 = N0 * e^(-λ*t)
Jetzt beide seiten durch N0 teilen, und du hast 1/2 = e^(-λ*t)
Ich weiß nicht ob ihr schon Logarithmen behandelt habt in Mathe, aber der Logarithmus ist das Gegenteil vom Potenzieren.
Denn mit dem Logarithmus lässt sich die Potenz ermitteln.
Als Beispiel: 100 = 10^x was ist dein x?
Jetzt ziehst du auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 10, da wir auf der rechten Seite die Basis 10 haben.
Wenn wir das machen, haben wir also log(100) = x * log(10) (log ist einfach der Logarithmus zur Basis 10. Gibt auch einen zur Basis 2, oder 3, oder welche Zahl auch immer du in deiner Basis stehen hast. Aber dann würde man allgemein log2(x) schreiben, wenn du als Basis die 2 hast, oder log3(x), wenn du die Basis 3 hast, usw... Aber wenn man nun log10(x) hat, hat man sich drauf geeinigt, dass man nur log(x) schreibt, denn aufgrund verschiedener Gesetze, reicht dieser Logarithmus und noch ein weiterer, den wir jetzt gleich gebrauchen werden, aus.)
log(100) = x*log(10) hatten wir ja jetzt, und man fragt sich beim Logarithmus, welche Zahl man für das x einsetzen muss, damit man auf die andere Seite der Gleichung kommen muss.
Jetzt ist es so, dass log(10) erst mal 1 ist, denn 10 hoch welche Zahl ist 10?...
log(100) = 2
Somit ist unsere Gleichung 2 = x womit wir unser x bestimmt haben.
Simple Probe:
100 = 10²
Somit ist 100 = 10^x nichts anderes als 10² = 10^x und jetzt sieht man ja sofort, dass x 2 sein muss, denn sonst wären beide Seiten von einander verschieden.
Kommen wir nun wieder zu unserer Gleichung mit der Halbwertszeit.
1/2 = e^(-λ*t)
Jetzt könnten wir den Logarithmus zur Basis 10 nehmen, aber es gibt noch einen weiteren, nämlich den Logarithmus zur Basis e, und e ist wieder die Eulerzahl 2,7182...
Dieser Logarithmus wird natürlicher Logarithmus genannt, weil die Funktion e^(λ*t) die Grundfunktion bei Abwachsraten, wie deine Aufgabe, ist.
Die Funktion steckt in all solchen Aufgaben.
Jetzt ziehen wir also auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus (der die bezeichnung ln hat).
ln(1/2) = (-λ*t)*ln(e).
ln(e) ist 1, denn es ist das gleiche wie beim log(10), denn man fragt sich jetzt, mit welcher Zahl man e potenzieren muss, damit e herauskommt...
ln(1/2) = -0,6931...
Somit ist unsere Gleichung -0,6931 = (-λ * t) * 1
Daraus wird dann -0,6931 = -λ * t
Und somit ist t = -0,6931/(-λ) = 0,6931/λ
Das λ war ja dein Wachstumsfaktor, und somit hast du als Halbwertszeit immer 0,6931/λ.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
Sorry, die Grundfunktion beim Wachstum oder Abwachs ist natürlich N(t) = N0*e^(-λ*t)