Größtmöglichen Flächeninhalt erstellen aus Umfang?
Gegeben ist ein Rechteck mit dem Umfang 64cm, ich soll aus diesem Umfang die Seitenlänge mit dem größtmöglichen Flächeninhalt angeben, gibts da etwas besonderes zu beachten?
Ich hätte das so gemacht;
64 / 2 = 32
32 + 0,1 = a
32 - 0,1 = b
a x b = A
theoretisch könnte ich aber viel kleiner Zahlen zum manipulieren nehmen..
4 Antworten
Solche Aufgaben nennt man Extremwertaufgaben. Die werden mit Haupt-/Nebenfunktion und erster Ableitung der Hauptfunktion berechnet. Hier ist ein Video, genau für Dein Problem (nur andere Werte) :
Es gilt:
A = a * b
und:
b = 32 - a
Damit ergibt sich:
A(a) = a * (32 - a)
= -a^2 + 32a
Gesucht ist das Maximum. Dazu ist die Ableitung zu bestimmen:
A'(a) = -2a + 32
Diese muss 0 sein (notwendige Bedingung):
0 = -2a + 32 |-32
-32 = -2a |:(-2)
16 = a
Überprüfung mit der hinreichenden Bedingung:
A''(x) = -2
A''(16) = -2 < 0, also Hochpunkt im Graphen
Damit ist 16 die gesuchte Seitenlänge.
Kann sein. Stattdessen kann man das Minimum auch mit dem GTR, durch Ausprobieren oder durch logisches Erschließen ermitteln.
Dein Rechteck hat einen Umfang von 128 cm, nicht 64 cm.
vier mal acht sind oft 64 = 8 x 8 - 64cm²
Ich glaube nicht, dass der GF bereits in der Abistufe ist!