Gleichungen Trigonometrie?
Hallo ihr Lieben,
könnt ihr mir bitte bei diesen trigonometrischen Gleichungen helfen?
1) 2tanx - 4sin2x = 0
2) sin2x = cosx
3) tan(5x-2) = 100
Vielen herzlichen Dank.
2 Antworten
Tipps:
sin(x) / cos(x) = tan(x)
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
Ein Beispiel:
sin(2x) = cos(x)
2 * sin(x) * cos(x) = cos(x)
cos(x) * (2 * sin(x) - 1) = 0
Satz vom Nullprodukt nutzen:
cos(x) = 0 ∨ 2 * sin(x) - 1 = 0
1) cos(x) = 0
Symmetrie und Periodizität berücksichtigen;
x = arcos(0) + 2 * π * n ∨ x = 2 * π - arcos(0) + 2 * π * n ; n ϵ Z
x = (1 / 2) * π + 2 * π * n ∨ x = (3 / 2) * π + 2 * π * n
2) 2 * sin(x) - 1 = 0
sin(x) = 1 / 2
x = arcsin(1 / 2) + 2 * π * n ∨ x = π - arcsin(1 / 2) + 2 * π * n ; n ϵ Z
x = (1 / 6) * π + 2 * π * n ∨ x = (5 / 6) * π + 2 * π * n
Ergebnis:
x ϵ {(1 / 6) * π + 2 * π * n│n ϵ Z} ∪ {(5 / 6) * π + 2 * π * n│n ϵ Z} ∪
{(1 / 2) * π + 2 * π * n│n ϵ Z} ∪ {(3 / 2) * π + 2 * π * n│n ϵ Z}
1)
2*tan(x) - 4*sin(2x) = 0
Wegen tan(x) = sin(x)/cos(x) und sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x):
2*sin(x)/cos(x) - 8*sin(x)*cos(x) = 0
2*sin(x) - 8*sin(x)*cos²(x) = 0
2*sin(x)*(1 - 4*cos²(x)) = 0
Wegen (a²-b²) = (a-b)(a+b):
2*sin(x)*(1- 2*cos(x))*(1 + 2*cos(x)) = 0
Es muss also a) oder b) oder c) gelten :
a) sin(x) = 0
b) 1 - 2*cos(x) = 0
c) 1 + 2*cos(x) = 0
Lösungen für a): x1 = 0, x2 = π
Lösungen für b): x3 = - π/3, x4 = + π/3
Lösungen für c): x5 = - 2π/3, x6 = + 2*π/3
Alle Lösungen haben die Periode 2*π*n und lassen sich zusammenfassen zu einer Lösung: x = π/3 * n, n € Z
2)
sin(2x) = cos(x)
2*sin(x)*cos(x) = cos(x)
cos(x) = 0 ist eine Lösung, das gilt für x1 = -π/2, x2 = +π/2
Bleibt die Gleichung:
2*sin(x) = 1
sin(x) = 1/2
Das gilt für: x3 = 1/6*π, x4 = 5/6*π
Alle Lösungen x1,x2,x3,x4 haben die Periode 2*π*n, n € Z
3)
tan(5x-2) = 100
5x-2 = arctan(100)
x = 1/5 *(arctan(100)+2)
tan(x) hat die Periode π, deshalb hat tan(5x) die Periode π/5. Somit lautet die allgemeine Lösung: x = π*n/5 + 1/5 *(arctan(100)+2), n € Z