Gibt es hier nicht eine größte positive Zahl und negative Zahl und somit eine Beschränkung?
Habe diese Folge cn := (−1)^(n+1)
(6n^2
13n)/ 5n^3 + 7) gibt es hier keine obere Schranke,
der absolut betrag bei n=1 wäre ja zum Beispiel 19/12 dann fällt ja der absolut Betrag bei n=3 usw
Die Folge ist alternierend klar , Häufungspunkt 0 , aber ist nicht der höchste Wert 19/12 somit das Supremum ?
2 Antworten
Deine Frage betrifft die Analyse einer alternierenden Folge \( c_n \) und die Frage nach ihrer oberen Schranke (Supremum).
Die Folge ist gegeben durch:
\[
c_n = (-1)^{n+1} \frac{6n^2 + 13n}{5n^3 + 7}
\]
Zuerst schauen wir uns den Betrag der Folge an:
\[
|c_n| = \left|\frac{6n^2 + 13n}{5n^3 + 7}\right|
\]
Um herauszufinden, ob die Folge eine obere Schranke hat und was das Supremum ist, betrachten wir das Verhalten der Folge für große \( n \). Für große \( n \) dominieren die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner, also \( 6n^2 \) im Zähler und \( 5n^3 \) im Nenner. Der Ausdruck nähert sich für große \( n \) somit an:
\[
|c_n| \approx \frac{6n^2}{5n^3} = \frac{6}{5n}
\]
Dieser Ausdruck geht gegen 0, wenn \( n \) gegen unendlich geht. Das bedeutet, dass die Beträge \( |c_n| \) für große \( n \) immer kleiner werden und sich 0 nähern.
Nun betrachten wir die konkreten Werte bei kleinen \( n \), um das Verhalten zu überprüfen. Für \( n=1 \) ist der Betrag:
\[
|c_1| = \left|\frac{6(1)^2 + 13(1)}{5(1)^3 + 7}\right| = \frac{19}{12} \approx 1.5833
\]
Für \( n=2 \):
\[
|c_2| = \left|\frac{6(2)^2 + 13(2)}{5(2)^3 + 7}\right| = \frac{50}{47} \approx 1.0638
\]
Für \( n=3 \):
\[
|c_3| = \left|\frac{6(3)^2 + 13(3)}{5(3)^3 + 7}\right| = \frac{93}{142} \approx 0.6549
\]
Diese Werte zeigen, dass der Betrag der Folge bei \( n=1 \) mit \( \frac{19}{12} \) am größten ist und danach abnimmt.
Da die Folge abnimmt und sich für große \( n \) gegen 0 bewegt, ist \( \frac{19}{12} \) tatsächlich das Supremum der Beträge \( |c_n| \).
Das bedeutet, dass das Supremum (die kleinste obere Schranke) der Folge \( |c_n| \) tatsächlich \( \frac{19}{12} \) ist.
Verteidigen? Ich bezweifle, das DerRoll das so wörtlich gemeint hat.
ChatGPT plappert erst wie ein Papagei die Frage nach, und muss dann meistens „um das herauszufinden“ etwas anderes machen. Das leitet einen längeren Text ein, der zwar stets schön formuliert ist (ohne Ironie), bei mathematischen Themen aber meist nur wirres Zeug enthält.
ich bin ja auch gerne ironisch, erlebe jetzt aber mal selbst ,dass man ironie sehr gut kennzeichnen muss
Ich wundere mich immer wieder , wie viele Leute sich auf GPT verlassen. Zur Kontrolle
Wenn die Folge von ChatGPT richtig interpretiert wurde ist das Infimum offensichtlich 0 (Zählergrad < Nennergrad).
Lass uns die Frage nach dem Infimum der Folge genauer untersuchen. Die Folge ist:
\[
c_n = (-1)^{n+1} \frac{6n^2 + 13n}{5n^3 + 7}
\]
Der Ausdruck \( (-1)^{n+1} \) sorgt dafür, dass die Folge alternierend ist. Das bedeutet, die Folge wechselt zwischen positiven und negativen Werten. Die Beträge der Folgenglieder haben wir bereits untersucht, und wir haben festgestellt, dass der größte Betrag \( \frac{19}{12} \) ist, den die Folge bei \( n=1 \) erreicht.
Für das Infimum betrachten wir den minimalen Wert, den die Folge annehmen kann. Da die Folge alternierend ist, wird der minimale Wert durch den kleinsten Wert der negativen Terme bestimmt.
Überprüfen wir den Wert der Folge für einige kleine \( n \):
Für \( n=1 \):
\[
c_1 = (-1)^{1+1} \frac{6(1)^2 + 13(1)}{5(1)^3 + 7} = \frac{19}{12} \approx 1.5833
\]
Für \( n=2 \):
\[
c_2 = (-1)^{2+1} \frac{6(2)^2 + 13(2)}{5(2)^3 + 7} = -\frac{50}{47} \approx -1.0638
\]
Für \( n=3 \):
\[
c_3 = (-1)^{3+1} \frac{6(3)^2 + 13(3)}{5(3)^3 + 7} = \frac{93}{142} \approx 0.6549
\]
Für \( n=4 \):
\[
c_4 = (-1)^{4+1} \frac{6(4)^2 + 13(4)}{5(4)^3 + 7} = -\frac{146}{347} \approx -0.4202
\]
Diese Werte zeigen, dass der negative Wert bei \( n=2 \) den größten Betrag hat, der negativ ist. Tatsächlich erreichen wir mit \( n=2 \) den Wert:
\[
c_2 = -\frac{50}{47}
\]
Somit ist das Infimum der Folge der größte negative Wert, den wir hier erreichen, also:
\[
\inf\{c_n\} = -\frac{50}{47}
\]
Dein Vorschlag, dass das Infimum \( -\frac{47}{50} \) sein könnte, ist nicht korrekt. Das Infimum ist tatsächlich \( -\frac{50}{47} \).
richtig Zahlendreher bei mir , danke
Alles gut! Immer wieder gerne! Falls du noch Fragen hast, stehe ich dir zur Verfügung :)
der Wert kann ja kleiner werden als 0 , 0 ist der Häufungspunkt weil der Absolutbetrag gegen null konvergiert
ich habe meine Lösung halt auch mit dem Chat Bot kontrollieren wollen, der sagt mir , das es kein Sup und Inf gibt , aber kann ja nicht sein . Da habe ich die Folge korrekt eingeben.
bn := (−1)^n * (5n^2/ (n^2+7n+8) die noch zur Sicherheit
hier ist der Grenzwert der Folge 5 , deshalb inf und sup ( -5/5) auch Häufungspunkte
Um die Häufungspunkte der Folge \( b_n \) zu bestimmen, betrachten wir zuerst den Grenzwert der Folge, die du angegeben hast:
\[ b_n := (-1)^n \cdot \frac{5n^2}{n^2 + 7n + 8}. \]
Betrachte den Grenzwert der Betragsfolge, ohne das Alternieren \((-1)^n\):
\[ \left| b_n \right| = \frac{5n^2}{n^2 + 7n + 8}. \]
Wenn \( n \) groß ist, dominiert \( n^2 \) sowohl im Zähler als auch im Nenner. Daher können wir den Grenzwert der Folge wie folgt bestimmen:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2}{n^2 + 7n + 8} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{1 + \frac{7}{n} + \frac{8}{n^2}} = 5.
\]
Da \( b_n \) abwechselnd positive und negative Werte annimmt, je nach \( n \) gerade oder ungerade ist, sind die Grenzwerte für gerade und ungerade Indizes:
\[
\lim_{n \to \infty, n \text{ gerade}} b_n = 5
\]
\[
\lim_{n \to \infty, n \text{ ungerade}} b_n = -5
\]
Also sind die Häufungspunkte der Folge \( b_n \):
- \( 5 \) und \( -5 \).
Die obere Schranke (supremum) ist \( 5 \) und die untere Schranke (infimum) ist \( -5 \).
ist mir schon klar , danke , wollte nur eine Bestätigung, dass das richtig ist
Leider kann man die Folge nicht wirklich erkennen. Es gibt kein Rechenzeichen im Zähler und die Klammersetzung ist fragwürdig. Daher ist keine Aussage möglich bis du das mit der Darstellung sauber hast.
Hinweis: Verwende den Formeleditor oder einen Online Latex-Editor oder stelle ein Foto ein.
Jemand anders konnte das komischerweise , aber trotzdem danke
c_n = (-1)^{n+1} \frac{6n^2 + 13n}{5n^3 + 7}
wieso vertraust du ChatGPT . Ich kenne aus GF so viele falsche Antworten
habe dem doch nicht vertraut, deshalb habe ich doch hier nochmal nachgefragt
Das hat ChatGPT aber schön formuliert.