Geradengleichung aufstellen mit Variablen in den Koordinaten?
Hallo, liebe Leute :)
Unser Mathelehrer hat uns die Aufgabe gegeben, eine Geradengleichung aus den Punkten P (1|1) und Q (2a|6a) aufzustellen. Die Variablen verwirren mich. Kann mir da eventuell jemand weiterhelfen?
Vielen Dank schonmal!
3 Antworten
Das ist dann nachher eine Geradengleichung für ein ganzes Bündel von Geraden. Zunächst begreifst du a als gewöhnliche Zahl.
http://dieter-online.de.tl/Gerade-_-Zweipunkteform.htm
(y - 1) / (x - 1) = (6a - 1) / (2a - 1) Nenner immer ≠ 0
y - 1 = ((x - 1)(6a - 1))) / (2a - 1)
y = (((x - 1)(6a - 1))) / (2a - 1)) + 1
y = ((6ax - 6a - x + 1) / (2a - 1)) + (2a - 1)/(2a - 1)
y = (1/(2a - 1)) * (6ax - x - 6a + 1 + 2a - 1)
y = (1/(2a - 1) * [(6a - 1) x - 4a]
y = ((6a - 1) / (2a - 1)) * x - 4a/(2a - 1)
Das sind unendlich viele Geraden mit m = (6a - 1) / (2a - 1)
und b = - 4a /(2a - 1)
ein Geradenbüschel oder eine Geradenschar.
Wenn du für x die 1 oder 2a einsetzt, bekommst du für y dann 1 oder 6a.
Doch noch mehr: du kannst für a Parameterwerte wählen, und es wird immer eine Gerade geben, die durch (1|1) und (2a|6a) läuft.
Bei a = 4 wäre der zweite Punkt (8|24).
Das Ganze ist eine Vorbereitung auf die neuerdings beliebten Kurvenscharen, die Taschenrechner, die ganze Funktionendiskussionen beherrschen, immer noch in Verlegenheit bringen-
Nicht verwirren lassen - die Punkte mit den Variablen werden genauso behandelt als wären sie ganz konkrete Punkte.
Also: Geradengleichung aufstellen, Steigung und Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen.
Die halbe Miete hast du schon, wenn du einfach die Koordinaten für m in die Formel einsetzt: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁). Das Besondere ist nur, dass x₂ = 2a und y₂ = 6a ist. b bekommst du aus einen der zwei Punkte durch umstellen der Geradengleichung: y = mx + b ⇒ b = y-mx
Den rechten Teil kannst du auch einfach so hin schreiben.
Das b kannst du dir sparen, wenn du die Gerade als Vektorengleichung darstellst. y = (1 1) + λ (2a-1 6a-1)
Wenn du mit der Tastatur tippst, musst du bei Brüchen Klammern setzen.
Bestimmt kann man da noch einige Schritte anwenden, aber es ist nicht notwendig.
Außerdem kannst Du die 1 mit auf den Bruchstrich nehmen, indem Du mit (2a-1) erweiterst:
b=[(2a-1)-(6a-1)]/(2a-1)=-4a/(2a-1)=4a/(1-2a)
War eine Bestätigung durch Willy, wenn mich auch das fehlende Minus irritierte. Aber er hat ja Minuend und Subtrahend vertauscht. Das erklärt's dann.
Bei so langen formalen Rechnungen vergisst man ja gern mal etwas. Dann freut man sich, wenn von anderer Seite eine Bestätigung kommt.
Aha! Jetzt habe ich b=1-6a-1/2a-1 stehen. Kann ich da noch einen Schritt anwenden?