Gegeben sind die Punkte A(1/-2/4) und B(2/5/1). Bestimme einen beliebigen Punkt P(5/y/z) so, dass der Winkel APB = 90° ist. Kann mir jemand helfen?
3 Antworten
Hallo,
wenn der Winkel APB gleich 90 Grad ist, stehen P-A und P-B senkrecht aufeinander, das bedeutet, daß ihr Skalarprodukt gleich Null ist.
P-A=(5/x/y)-(1/-2/4)=(4/x+2/y-4)
P-B=(5/x/y)-(2/5/1)=(3/x-5/y-1)
(P-A)·(P-B)=(4/x+2/y-4)·(3/x-5/y-1)=0
4*3+(x+2)*(x-5)+(y-4)*(y-1)=0
12+x²-3x-10+y²-5y+4=0
x²+y²-3x-5y=-6
Alle x und y, die diese Gleichung erfüllen, kannst Du in P (5/x/y) einsetzen.
Am besten setzt Du eine Variable auf 0, z.B. x=0
Dann fallen die x weg und es bleibt die quadratische Gleichung
y²-5y+6=0 übrig, die die Lösungen y=2 und y=3 hat.
Somit wären zwei mögliche Lösungen für P:
(5|0|2) und (5|0|3)
Natürlich gibt es unendlich viele andere Lösungen, die sich alle auf der Oberfläche einer Kugel um den Mittelpunkt der Strecke AB und dem Radius von 0,5*AB befinden.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen herzlichen Dank für diese hilfreiche Antwort.
Der Richtungsvektor PA ist gegeben durch (A-P) = (1-5, -2-y, 4-z)
Der Richtungsvektor PB ist gegeben durch (B-P) = (2-5, 5-y, 1-z)
Die beiden Richtungsvektoren stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt 0 ergibt
(1-5)(2-5) + (-2-y)(5-y) + (4-z)(1-z) = 0
12 -10 -5y +2y +y^2 +4 -z -4z +z^2 = 0
6 -3y +y^2 -5z +z^2 = 0
Jetzt kann man z=1 setzen ("beliebiger Punkt")
2 -3y +y^2 = 0
Lösung: y = 1 oder y = 2
d.h. die Punkte P(5/1/1) oder P(5/2/1) wären eine Lösung.
Oder alle Punkte P(5/y/z), mit
6 -3y +y^2 -5z +z^2 = 0
Diese liegen übrigens auf einem Kreis.
Q1 := P - A = ( 4 | y + 2 | z - 4 ) ( 1.1 )
Q2 := P - B = ( 3 | y - 5 | z - 1 ) ( 1.2 )
Das Skalarprodukt muss verschwinden.
< Q1 | Q2 > = 4 * 3 + ( y + 2 ) ( y - 5 ) + ( z - 4 ) ( z - 1 ) = 0 ( 1.3 )
Da ja nur irgendein P gesucht ist, setze y = 0 in ( 1.3 )
z ² - p z + q = 0 ( 1.4a )
p = 5 ; q = 6 ( 1.4b )
Wie lösen wir die quadratische Gleichung ( 1.4 ) ? Schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?
Ich schick aber erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist; es folgt noch eine Fortsetzung Teil 2 .
Nannerl Mozartina? Auf jeden Fall lebst du in aufregenden Zeiten; Wikis Behauptung nämlich, Gauß habe den SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, stellt DIE GRÖSSTE FÄLSCHUNG dar in der GESCHICHTE DER MATEMATIK . Du siehst; Mathe kann echt spannend sein . In Wahrheit wurde der SRN 1990 gefunden von einem anonymen Internetgenie .
1) Gauß ist doch Kult; wie erklärst du dir, dass dein Lehrer / Prof keinen Dunst hat vom SRN? ( Ich weiß schon; der wollte euch nur mal prüfen ... )
2) Weißt du noch, wie man beweist, dass Wurzel ( 2 ) irrational? Falls du es vergessen haben solltest; die Spatzen pfeifen es aus dem Internet .
Halt Stop; und jetzt nochmal den Beweis über den SRN . Die Erleuchtung; im ===> Zen Buddhismus heißt sie ===> Satori .
Wie man Fälschungen beurteilt. Sag doch selbst; ist DAS noch glaubhaft? Dass Gauß den SRN entdeckt haben soll und niemand in den verflossenen 200 Jahren auf diese wesentliche Vereinfachung gewstoßen sein soll?
ja auf Youtube präsentiert sich ein Knilch von einem amerikanischen College - Weltniveau. Das sind ja nicht die Dümmsten. Der hat nacheinander drei Videos aufgenommen, dass 2 ^ 1/2 , 5 ^1/2 und 7 ^1/2 irrational. Vom SRN kann DER noch nie vernommen haben; genau so könntest du beweisen 4 711 ^ 1/123 irrational ...
3) Bist du noch Schülerin oder schon Studentin? Und wenn Letzteres - warst du schon in der Algebravorlesung? ( Für mich nur schwer zu beurteilen ) Weil dein Lehrer / Prof weiß: Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) sind die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher überhaupt. Und? kennen die einen SRN? Soll der mal nachsehen ...
So ich musste mal wieder Dampf ablassen; dabei hab ich noch lange nicht meine Trumpfkarten ausgespielt. Aber wir müssen hier weiter machen; wie löst man ( 1.4ab ) über den SRN?
Vieta das geschmähte Stiefkind; Vieta q
z1 z2 = q = 6 ( 2.1 )
du hast verstanden: Wir müssen das Absolutglied 6 zerlegen in seine GANZZAHLIGEN Faktoren. Die Sex hat die triviale Zerlegung 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 . Halt Stop; da ergibt sich noch eine Zweideutigkeit mit dem Vorzeichen, weil ja in ( 2.1 ) " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Für diese Zwecke gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( CV )
" Zwei Mal Plus "
Das ist wieder so ein Fall; mir war es möglich, in der Diplomprüfung Algebra eine 1 Plus zu packen, ohne je von der CV gehört zu haben ...
Hinreichende Bedingung; überlebenswichtig in jeder Klausur: Vieta p
p = z1 + z2 ( 2.2a )
z1 = 1 ; z2 = 6 ; p = 7 ( 2.2b )
z1 = 2 ; z2 = 3 ; p = 5 ( 2.2b ) ; ok