Geben Sie die Geschwindigkeit an?
Der kugelförmige Kopf eines Schneemannes schmilzt unter der warmen Sonne mit -70 cc/h (cm3 pro Stunde). Geben Sie die Geschwindigkeit an, mit der der Radius sich ändert, wenn der Ausgangsradius r=7 cm ist. Verwenden Sie cm/h als Einheit für die Geschwindigkeit.
Hinweis: Das Volumen der Kugel ist: V=43⋅π⋅r3
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
Das Volumen nimmt linear mit der Zeit ab, der Radius der verbleibenden Kugel ist entsprechend zu bestimmen:
4/3 Pi 7^3 - 70 t = 4/3 Pi r(t)^3,
daraus
r(t) = ( 7^3 - 210 / (4 Pi) * t )^(1/3)
und
r'(t) = - 70 / (4 Pi) * ( 7^3 - 210 / (4 Pi) t )^(-2/3)
und z.B.
r'(0) = - 70 / (4 Pi *7^2)
Interpretation: Die infinitesimale Änderung des Radius ist umgekehrt proportional zur verbliebenen Kugeloberfläche (4 Pi r^2).