Gauß-Verfahren?

Halloo ihr lieben,

ich habe dieses lgs jetzt mit 4 verschiedenen ansätzen probiert zu lösen aber komme nicht auf das richtige ergebnis. Kann mir jemand die Aufgabe berechnen und erklären?

LG

Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Verfahrens die Losungen des linearen GLS:

−3x1 − x2 + 2x3 = −3

48x1 + 20x2 − 26x3 = 50

12x1 + 8x2 − 2x3 = 14

Answer 1

[ReimundAcker]

Aus technischen Gründen schreibe ich im Folgenden x, y und z statt x₁, x₂ und x₃. Die Gleichungen bezeichne ich mit (1), (2), (3), (2') etc.

16·(1) + (2) bedeutet, beide Seiten der Gleichung (1) mit 16 multiplizieren und zu den entsprechenden Seiten der Gleichung (2) zu addieren; etc.

(1)  –3x −   y +  2z = −3
(2)  48x + 20y − 26z = 50
(3)  12x +  8y −  2z = 14

16·(1) + (2) ergibt:
(2')  0x + 4y + 6z = 2

(2) – 4·(3) ergibt:
(3')  0x – 12y – 18z = –6

3·(2') + (3') ergibt:
(3")  0x + 0y + 0z = 0

Damit erhalten wir das zu (1), (2), (3) äquivalente Gleichungssystem
(1)  –3x − y  + 2z = −3
(2')  0x + 4y + 6z =  2
(3")  0x + 0y + 0z =  0

Gleichung (3") ist für beliebige Werte von z∈ℝ wahr. Wir setzen daher z:=t mit t∈ℝ. Eingesetzt in (2') ergibt das 4y + 6t = 2 oder 2y + 3t = 1 bzw.
(2")  y = 1/2 – 3t/2

Und wenn man y in (1) gemäß (2") durch 1/2 – 3t/2 und z durch t ersetzt, erhält man
–3x − (1/2 – 3t/2) + 2t = −3 bzw. nach Umformung
–3x − 1/2 + 3t/2 + 2t = −3
–3x       + 3t/2 + 4t/2 = −3 + 1/2
(1')  x = 7t/6 + 5/6

Damit ist das ursprüngliche Gleichungssystem äquivalent zu
(1')  x = 7t/6 + 5/6
(2")  y = 1/2 – 3t/2
mit beliebigem t∈ℝ. Also ist die Lösungsmenge
L = {(7t/6 + 5/6; 1/2 – 3t/2); t) | t∈ℝ} unendlich.

Probe:
LS von (1) = –3x − y + 2z    
           = –3(7t/6 + 5/6) – (1/2 – 3t/2) + 2t
           = –7t/2 – 5/2 – 1/2 + 3t/2 + 2t
           = –2t + 2 + t
           = 2
           = RS von (1)
LS von (2) = 48x + 20y − 26z
           = 48(7t/6 + 5/6) + 20(1/2 – 3t/2) − 26t 
           = 56t     + 40   + 10     – 30t   – 26t
           = 50
           = RS von (2)
LS von (3) = 12x + 8y − 2z
           = 12(7t/6 + 5/6) + 8(1/2 – 3t/2) − 2t
           = 14t     + 10   + 4     – 12t   − 2t
           = 14
           = RS von (3)      

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche