Funktionsgleichungen Wachstums- und Zerfallsprozesse?
Auf dem Bild sieht man die Aufgaben, ich würde mich freuen wenn mir jemand das Prinzip dieser Aufgaben erklären könnte, also wie ich das dann in die Gleichung einbauen muss und das dann auch für weitere Aufgaben anwenden kann?!
Danke und LG
2 Antworten
siehe Mathe-Formelbuch "Exponentialfunktion" f(x)=a^x
taucht in der Form auf N(t)=No*a^t
No = Anfangswert zum Zeitpunkt t=0 ergibt N(0)=No*a^0=No*1
"exponetielle Abnahme"
N(t)=No*a^t mit 0<a<1
N1=No-No/100%*p)=No*(1-p/100%) hier 1-p/100% "negativ",weil ja No abnehmen soll
a=1-p/100%
"exponentielle Zunahme"
N(t)=No*a^t mit a>1
N1=No+No/100%*p)=No*(1+p/100%) hier 1+p/100% "positiv",weil ja No zunehmen soll
a=1+p/100%
a) N0=30 und t=3 mit N(3)=No*4 eingesetzt
No*4=No*a^3 ergibt 4=a^3 ergibt a=3.te Wurzel(4)=1,5874..
Probe: N(3)=30*1,5874^3=30*4=120
Hinweis: Du kannst auch t=3=1 also 3 Tage ist dann 1 Zeiteinheit
No*4=No*a^1 ergibt a=4
ergibt N(t)=30*4^1=120
Hinweis: bei 6 Tagen wäre dann t=2
b) ist eine "exponetielle Abnahme" also 0<a<1
No=2 t=5 Std und N(5)=No*1/3
No*1/3=No*a^5 ergibt a=5.te Wurzel(1/3)=0,8027..
Probe: N(5)=2*0,8027^5=2*0,33..=2*1/3
auch hier kann man 5 Stunden=t=1
No*1/3=No*a^1 ergibt a=1/3
N(t)=No*(1/3)^t hier wären dann 5 Stunden=t=1
c) No=0,65 und t=2,5 min und N(2,5)=No*1,5
No*1,5=No*a^2,5 ergibt a=2.5.te Wurzel(1,5)=1,176
N(t)=0,65*1,176^t=0,65*1,176^2,5=0,65*1,5
d) No=400 und p=12% wir setzen 0,5 Jahre=t=1
"exponetielle Abnahme"
N1=No+No/100%*12%=No*(1-0,12)
a=(1-0,12)=0,88
N(t)=400*0,88^t=400*0,88^1=352
Probe: N1=400-400/100%*12%=352
Achtung: Hier nicht t=0,5 einsetzen,daß führt zu einen falschen Ergebnis.
e) No=32 mit 3 Sekunden=t=1 und p=5%
N1=No+No/100%*5%=No*(1+0,05)
a=1+0,05=1.05
N(t)=32*1,05^t=32*1,05^1=33,6
Probe: N1=32+32/100%*5%=33,6
Hinweis: Würde man t=3s einsetzen,dann führt das zu einen falschen Ergebnis
man kann auch als Basis a=e nehmen
"radioaktiver Zerfall"
N(t)=No*e^(-b*t) is eine "exponetielle Abnahme"
b ist die Zerfallskonstante,abhängig vom Material
No Zum Zeitpunkt t=0 vorhandenes Material,zerfallsfähige Atome oder Material in gramm oder so
Umwandlung von y1=a^x in y2=e^c gleichgesetzt
e^c=a^x logarithmiert
c=ln(a^x)=x*ln(a) siehe Mathe-Formelbuch "logarithmengesetze" log(a^x)=x*log(a)
also a^x=e^(ln(a)*x)
Halbwertszeit N(T)=No/2 ergibt
No/2=No*e^(-b*T)
1/2=e^(-b*T) logarithmiert
ln(0,5)=-b*T ergibt
b=ln(0,5)/(-1*T) die Halbwertszeit T ist bekannt
Du stellst eine Exponentialfunktion auf:
f(x)=c+a^x;
c ist der Anfangsbestand, a ist der Wachstumsfaktor. x hat die angegebene Einheit.
z.B.:
a)c=30; a=4; x hat die Einheit 3 Tage.
So wie die Aufgabe gestellt ist kann man die Einheit nicht in die Funktionsgleichung miteinbeziehen...
Vielen Dank :)