Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen anhand der Nullstellen aufstellen?
Hallo,
Die Aufgabe lautet, mithilfe des folgenden Graphen (auf dem Bild) die Funktionsgleichung zu bestimmen. Man kann die Nullstellen ablesen, und muss mit ihnen die Funktionsgleichung bestimmen. Dazu sind noch zwei Koordinaten zu sehen, ich verstehe aber nicht wirklich, wie sie hier weiterhelfen sollen (vielleicht hilft es irgendwie beim bestimmen der Funktionsgleichung ?).
Die Lösung für die Aufgabe kenne ich schon. Es ist f(x) = 0,25*(x + 3)*x^2*(x - 2). Wie kommt man aber darauf? Ich verstehe warum in der Gleichung (x + 3) und (x - 2) ist, das wären die zwei Nullstellen, aber woher kommt die 0,25 und das x^2?
Würde mich freuen wenn mir das jemand weiterhelfen kann.
2 Antworten
Wie kommt man aber darauf?
Faktorisierte Form eines Polynoms kennen und wissen, dass
- Ein Polynom in die faktorisierte Form gebracht werden kann, wenn man alle Nullstellen (unter Einbeziehung der Vielfachheit der Nullstellen) eines Polynoms kennt
- Was die Vielfachheit einer Nullstelle heißt
- Dass eine Nullstelle mindestens die gerade Vielfachheit 2 hat, wenn der Graph die x-Achse nur berührt, aber nicht schneidet
- Dass der Graph die typische W-Form einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat und damit - unter Berücksichtigung des zuvor gesagten - alle 4 Nullstellen bekannt sind.
Daher ist der Ansatz:
Jetzt suchst Du noch einen Punkt aus, um "a" zu bestimmen:
aber woher kommt die 0,25 und das x^2
Der Punkt U(0 | 0) ist eine doppelte Nullstelle (Graph berührt die x-Achse nur - siehe oben) und daher ist der entsprechende Faktor für die faktorisierte Form:Woher die 0,25 (=1/4) kommt, habe ich Dir oben schon gezeigt.
Das x^2 kommt von der doppelten Nullstelle 0
den Faktor kannst du durch Einsetzen der beiden Funktionswerte bestimmen als f(-2)=-4
und f(1)=-1