Funktion mindestens 4. Grades Beweis?
Wie beweise ich, dass eine Funktion mindestens vierten Grades ist?
Ich habe zwei Nullstellen x01(-4|0), x02(4|0) gegeben und die Schnittstelle mit der y-Achse (Sy=4).
Wie kann ich allein mit den Fakten beweisen, dass die Funktion mindestens vierten Grades ist?
Ich hoffe, jemand kann mir weiter helfen...
4 Antworten
Du siehst schon, dass im Punkt P1 und P2 jeweils Tiefpunkte sind. Und bei (0|4) ist ein Hochpunkt. Macht in der Summe drei Extrempunkte.
Wie berechnest du die? Indem du die Funktion ableitest und die Nullstellen der Ableitung berechnest. Beim Ableiten wird der Grad ja immer um eins verringert. Beispiel:
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
Eine Funktion kann immer maximal so viele Nullstellen haben, wie ihr Grad ist. Heißt, wenn die Ausgangsfunktion f den Grad vier hat, kann die Ableitung mit dem Grad drei auch nicht mehr als drei Nullstellen haben. Die Nullstellen der Ableitung sind ja die Extremstellen der Ausgangsfunktion. Das heißt, wenn die Ableitung den Grad drei hat, kann die Ausgangsfunktion maximal drei Extrempunkte haben.
Ergo bedeutet das, dass die Skizze mit den drei erkennbaren Extrempunkten mindestens den Grad vier hat. Wäre es eine Funktion dritten Grades, würde die Ableitung nur maximal zwei Nullstellen haben und die Ausgangsfunktion hätte auch nur maximal zwei Extrempunkte.
Entscheidend ist, wie der Graph die x-Achse trifft, nicht OB oder wo!
Wenn es davor keine keine Wendestellen gibt (und der Graph weiter ins Negative läuft), gibt es nur 1 Extrempunkt und man hat Grad 2: 4-x²/4
Da hier aber je 1 zusätzliche Wendestelle dafür sorgt, dass der Graph von 0 wieder ins Positive verläuft, gibt es 2 zusätzliche Extrempunkte, die man nur durch Grad 4 erreichen kann.
Da hier Symmetrie vorliegt, kann man einfach die vorhandene Kurve quadrieren und die 2 Parameter anpassen: (2-x²/8)² = x^4/64 - x^2/2 + 4
Grad 4: 4 Nullstellen , 3 Extremstellen, 2 Wendestellen
- Nullstellen können auch komplex sein
- Extremstellen sind an den Nullstellen der 1. Ableitung
- Wendestellen sind an den Nullstellen der 2. Ableitung
Musst du denn nur die Funktionsgleichung aufstellen oder tatsächlich einen Beweis führen?
Der Beweis wäre nämlich schon relativ aufwendig, wenn auch nicht schwer. Funktionen n-ten Grades haben bestimmte Eigenschaften. Du musst daher für alle Grade < 4 nachweisen, dass die Funktion mindestens eine Eigenschaft nicht erfüllt.
Funktion dritten Grades haben beispw. ein anderes Grenzwertverhalten als Funktionen vierten Grades.
Erfüllt die Funktion dann alle Eigenschaften vierten Grades, so kannst du argumentieren, dass die Funktion mindestens vierten Grades ist.
Eine Funktionsgleichung aufzustellen, sollte wiederum kein Problem sein, denke ich?! :)
LG
Es sind 3 Extremwerte zu sehen.
Eine Gleichung 4. Grades hat maximal
4 Nullstellen,
3 Extremwerte und
2 Wendepunkte.
Dass sie 4 Nullstellen hat, weiß man aus der Existenz der Linearfaktoren:
Und von da an geht's bergab, immer einer weniger (wegen der Ableitungen mit n-1).