Für was steht e im Zerfallsgesetz?
Ich muss eine Präsentation über das Zerfallsgesetz halten. In der Formel
N(t) = N(0)·e^{-λ·t}
gibt es den Faktor e. Auf Wikipedia ist dieser mit 2,71828... beschrieben. Ist der Faktor nuklidspezifisch oder immer gleich und warum existiert er, was bewirkt er?
Danke im Voraus.
6 Antworten
Hallo MacxFragt,
ich habe die Formel dahingehend korrigieren lassen, als dass ich N(0) und N(t) vertauscht habe, denn N(0) ist der Anfangswert und N(t) der „aktuelle“ Wert zum Zeitpunkt t.
...gibt es den Faktor e.
Das ist kein Faktor, sondern eine Basis. Wie schon andere User geschrieben haben, ist e die Euler'sche Zahl. Auch wenn die Ziffernfolge anfangs periodisch aussieht, ist sie irrational und sogar transzendent *).
Basiswechsel bei ExponentialfunktionenEine beliebige Exponentialfunktion
(1.1) f(x) = a^{x}
zu einer bestimmten Basis a>0 lässt sich dank des Potenzgesetzes
(1.2) (b^{x})^{y} = b^{x·y}
(wir potenzieren eine Potenz, indem wir den „neuen“ Exponenten mit dem „alten“ multiplizieren) und der Identität
(1.3) a = b^{log_[b](a)}
(ergibt sich aus der Definition des Logarithmus) auch als Exponentialfunktion zu einer anderen Basis b>0 ausdrücken, also auch als Exponentialfunktion zur Basis e („e-Funktion“):
(1.4) f(x) = a^{x} = e^{ln(a)·x}
Dabei ist ln(a)=log_[e](a) der sog. Natürliche Logarithmus.
Wieso eigentlich e, was ist daran „natürlicher“?Exponentialfunktionen sind proportional zu ihrer eigenen Ableitung nach der Variablen (Änderungsrate), im obigen Fall also x.
Der dazu gehörige Proportionalitätsfaktor hängt von der Basis ab und ist genau bei e als Basis einfach gleich 1, d.h., die Funktion e^{x} ist gleich ihrer eigenen Ableitung nach x. Deshalb heißt e^{x} auch die Natürliche Exponentialfunktion.
Ableitung von Exponentialfunktionen mit Faktoren im ExponentenEine Funktion
(2.1) g(x) = e^{α·x}
mit irgendeinem reellen Vorfaktor α hat die Ableitung
(2.2) g'(x) = α·e^{α·x},
sodass
(2.3) f'(x) = ln(a)·e^{ln(a)·x} = ln(a)·a^{x}
ist.
Physikalische ExponentialfunktionenIn der Physik sind die Größen, mit denen wir es zu tun bekommen, oft dimensionabehaftet, d.h., sie enthalten Maßeinheiten.
Das darf im Exponenten jedoch nicht sein, weil das keinen Sinn ergibt. Die Zerfallskonstante λ muss deshalb die Dimension [1/Zeit] und die Maßeinheit 1/s haben, was bei der Ableitung auch Sinn ergibt. Schließlich soll bei der Ableitung eine zeitliche Änderungsrate, also irgendetwas pro Zeit herauskommen.
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*) d.h., sie kann nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen bzw. rationalen Koeffizienten (Vorfaktoren) auftreten. Ein Beispiel für eine irrationale, nicht transzendente Zahl ist √{2}, und die zugehörige Gleichung ist einfach
x² – 2 = 0.
zuerst : nein der Faktor e ist nicht nuklidspezifisch , wohl aber der Wert λ.
Wachstum und Zerfall sind mathematisch ähnlich , weil W eine Zunahme und Z eine Abnahme von ursprünglichen Wert bedeutet.
beim zerfall wird zb aus der Menge 200 nach einer Zeitspanne 180 , später noch weniger usw.
Wie ist es nun von 200 zu 180 gekommen ? Der Zerfall muß in dieser Spanne kontinuierlich geschehen sein. In jeder kleinsten Zeiteinheit.
(Das ist so ( beim Wachstum) , als würden die Zinsen für Geld jede Sekunde draufgeschlagen und zwar so , daß am Ende des Jahres genau der vereinbarte Zinssatz da ist.
Und dieser kontinuierliche Prozeß wird sehr gut mit der e-Funktion modelliert.
In der folgenden Formel meint ( x / n ) den Zuwachs und exp (x) die e - funktion
die e-funktion stellt also eine Funktion dar , die aufgrund von Grenzwertbetrachtungen sich als sinnvoll für Wachstums- ( Zerfalls)prozesse herausgestellt hat.
woher stammt e = 2,718 ?
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2B+1%2F10)+%5E10
setze hier mal anstatt der beiden 10 immer größere Zahlen ein. Das Ergebnis wird immer mehr zu 2,718.....
"radioaktiver Zerfall" Formel N(t)=No*e^(-b*t)
No Anzahl der zerfallsfähigen Atome zum Zeitpunkt t=0
also N(0)=No*e^(-b*o)=No*e^0=No*1=No
b ist die Zerfallskonstante, abhängig vom Material
e^1=2,71828.. ist die "Eulerzahl"=konstant
Zerfallsgesetz (y2-y1)+y(x)*b*(x2-x1)=0
mit y(x)=f(x)
y(x) Zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt x
y2-y1 ist die Anzahl der zerfallenen Kerne im Zeitintervall (x2-x1)
geht nun das zeitintervall (x2-x1) gegen Null,so ergibt sich
dy+y*b*dx=0 dividiert duch dx
dy/dx+b*y=0 dies ist eine Differentialgleichnung (Dgl) der Form y´+a*y=0
nennt man " homogene lineare Dgl 1.ter Ordnung"
Lösung durch trennen der Veränderlichen y und dx
dy+y*b*dx=0 ergibt
dy=-y*b*dx dividiert durch y
dy/y=-b*dx integriert
Integral(dy/dy=Integral(-b*dx)=-b*Integral(dx)
ln(y)=-b*x+C
y=f(x)=e^(-b*x+C)=e^(-b*x)*e^C siehe Mathe-Formelbuch "Potenzgesetze"
a^r*a^s=a^(r+s)
Bestimmung der Konstanten e^C
Zum Zeitpunkt t=0 ist die Anzahl der zerfallsfähigen Atomkerne No
f(x)=N(t)=e^C*e^(-b*t) mit t=0
N(0)=e^C*e^(-b*0)=e^C*e^0=e^C*1=No
e^C=konstant=No
Endformel N(t)=No*e^(-b*t)
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Das ist die Eulersche Zahl, die ist genauso wie die Zahl Pi eine mathematische Konstante für die Berechnung diverser Dinge wie Flächen, Logarithmen usw.
e ist dei Eulersche Zahl und eine mathematische Konstante wie Pi. Zu Fragen nach Existenz etc. verweise ich dich auf Wikipedia: