Fü welche Parameter ist die Funktion stetig?
Hallo zusammen!
Ich soll prüfen für welchen Wert von a und b die Funktion stetig ist. Ich habe das jetzt so gemacht das ich die Sinus Funktion und e^2x-wurzel x in ein Koordinatensystem eingezeichnet habe, und dann waren ja von 0<x<1 noch frei und dann hab ich geguckt wie a und b sein müssen und ich bin dann auf e^2x + (-1) gekommen. Meine Frage ist jetzt ob man das auch rechnerisch rausbekommt?
2 Antworten
Damit die Funktion in x = 0 stetig ist, muss e^(ax) + b ja gegen sin(0) laufen für x --> 0.
Aber tatsächlich läuft e^(ax) + b gegen e^0 + b. Damit muss e^0 + b = sin(0) gelten, was dir eine einfache Bedingung gibt, um b zu ermitteln.
Verfahre ähnlich für die zweite Stelle, an der Stetigkeit gefährdet ist.
Für x≠0 und x≠1 ist die Funktion auf jeden Fall stetig, da die Funktionen der jeweiligen Abschnitte stetig sind.
Jetzt musst du die Stellen prüfen, die sich am Rand von den Abschnitten befinden. Also 1 und 0.
Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert an der Stelle übereinstimmen. Du musst also prüfen für welche a, b das gilt.
Für x=0 ist der linksseitige Grenzwert sin(0), der rechtsseitige Grenzwert ist e^(0a)+b
(Da die Funktionen der Abschnitte wie gesagt stetig sind, kannst du einfach 0 in beide Funktionen einsetzen).
Dadurch erhälst du eine Gleichung.
Mache das selbe für die Stelle 1 um eine zweite Gleichung zu erhalten.
Löse das resultierende Gleichungssystem nach a und b auf.