Frequenz, Eigenkreisfrequenz & Nullphasenwinkel aus Diagramm ablesen?
Kann mir bitte jemand sagen wie man von diesem Diagramm die Eigenfrequenz, Eigenkreisfrequenz und den Nullphasenwinkel abliest bzw. wo die sind. Danke im Voraus!
4 Antworten
- wir nehmen mal y=f(x)=a*sin(w*x+b)
mit t=0 ist x(0)=5
also 5=10 cm*sin(w*0+b) a=10 cm weil die x-Achse die mittellinie ist.Graph schwingt um die x-Achse 10cm nach oben und -10 cm nach unten
5/10=sin(b) ergibt
b=arcsin(0,5)=0,523..
X(t)=10 cm*sin(w*t+0,523)
Maximum bei tmax=4/3*pi
Minimum bei tmin=16/3*pi
Zeit für ein halbe Periode T/2=16/3*pi-4/3*pi=pi*12/3=pi*4
Zeit für eine ganze Periode (positive Halbwelle + negative Halbwelle)
T=pi*4*2
w=2*pi/T=2*pi/(8*pi)=1/4
Endformel X(t)=10 cm*sin(1/4*t+0,523)
Probe: X(0)=10 cm*sin(1/4*0+0,523)=5 cm bis auf Rundungsfehler
X(4/3*pi)=10 cm*sin(1/4*(4/3*pi)+0,523)=10 cm*1=10 cm also Maximum
X(16/3*pi)=10 cm*sin(1/4*(16/3*pi)+0,523)=10 cm*(-1)=-10 cm Minimum
Eigenfrequenz etc. kann man nicht direkt ablesen - man muss sie aus der Periode berechnen.
Der Nullphasenwinkel hängt davon ab, ob man die Funktion mit dem Sinus oder dem Cosinus beschreibt. Wenn man nur mit reellen Zahlen rechnet, nimmt man den Sinus. Dann ist der Nullphasenwinkel dort, wo die Kurve die x-Achse von unten nach oben schneidet (modulo 2 pi). Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet (z. B. Wechselstrom), nimmt man den Cosinus für den Realteil. Dann ist der Nullphasenwinkel dort, wo die Kurve ein Maximum hat (modulo 2 pi).
(Beim gedämpften oder erzwungen schwingenden harmonischen Oszillator verschiebt sich die Phase besonders der Maxima und Minima.)
y=f(x)=a*sin(w*x+b) und y=f(x)=a*cos(w*t+b) sind periodische Funktionen.
Hier hat man ganz einfach das Koordinatensystem nach "rechts" verschoben.
Schnittpunkt mit der y-Achse bei x=0 was sich dann ständig wiederholt.
5=10*sin(w*0+b) ergibt dann b=arcsin(0,5)=0,523
Im Bild sieht man die Zeit für eine halbe Periode T/2=16/3-4/3*pi
w=2*pi/T
und somit ist die Aufgabe mit diesen Grundkenntnissen ganz einfach.
ymax = 10cm
T = 4π s
f = 1 / (4π s)
⍵ = 2π s-1
φo = π/6 s-1
Gruß, H.
Vielen Dank aber wäre echt hilfreich wenn du auch sagen könntest wie du drauf kommst bzw kurz erklären wie man drauf kommt. :)
Das ist etwas umfangreich und mir ist leider ein kleiner Lapsus unterlaufen. Die Schwingungsdauer ist T = 8pi s , f = 1 /(8pi s), omega = 1/(4 s)
Die Schwingungsgleichung lautet y = y(max) * sin( omega * t + phi(0) )
Es ist leider für lange Kommentare heute etwas zu spät. Wenn es dir recht ist, dann werfe ich morgen noch einmal ein Auge auf deine Frage.
Gruß, H.
Berichtigungymax = 10cm
T/2 = 4π s
T = 8π s
f = 1 / (8π s)
⍵ = 2π ∙ f = 2π/8π s-1 = 0,25 s-1
φo = π/6 s-1
Die Teilung der Zeitachse ist etwas ungewöhnlich; es wird die Zeit als Vielfaches von pi angegeben. Das wird auf den ersten Blick übersehen (falls es sich nicht um einen Druckfehler handelt).