Frage zu kompakten Operatoren (Funktionalanalysis)?
Hallo, ich habe diese Aufgabe, die ich lösen möchte:
- Gegeben sei ein Banachraum X. Für alle linearen stetigen Operatoren A, B aus L(x) definieren wir T_(A,B) als B(X) -> B(X) durch T_(A,B)(S) = ASB für alle S aus B(X) Zeigen Sie, dass aus der Kompaktheit von A und B auch die Kompaktheit von T_(A,B) folgt.
Ich habe außerdem dieses Lemma in meinem Skript:
- Sei T: X -> X ein kompakter linearer Operator und S: X -> X ein beschränkter linearer Operator auf dem normierten Vektorraum X. Dann sind TS und ST kompakt.
Nun dachte ich, dass ich dieses Lemma einfach zweimal anwenden kann: Also SB müsste laut dem Lemma kompakt sein, weil B kompakt ist und S beschränkt und dann wäre ASB auch kompakt, weil A und SB beide kompakt (und beschränkt) sind.
Falls diese Argumentation nicht stimmt, frage ich mich wieso und wie man die Aufgabe sonst lösen soll.
So sieht die Originalaufgabe aus
Ist da wirklich B(X) gemeint, nicht L(X)?
B(X) ist das Bild von B (sagt mein Kommilitone)
Was ist B(X)?
ich bin mir nicht ganz sicher, entweder es steht für die beschränkten linearen Operatoren, was ja eigentlich schon L(X) ist oder es hat etwas mit dem Operator B zu tun
2 Antworten
Du musst nicht nachweisen, dass ASB kompakt ist, sondern dass der Operator T_(A,B) kompakt ist.
Kompaktheit des Operators T muss nicht mit der Kompaktheit des Bilds T(S) übereinstimmen.
Ja, ich dachte mir schon, dass es nicht so einfach sein kann. Aber danke, jetzt weiß ich wenigstens warum.
Nicht ganz , die Aufgaben ist ea Kompaktheit von ta,b zu zeigen..
Nicht das ta,b kompakte Operatoren auf kompakte abbildet
Die Identität erhält auch Kompaktheit , ist aber nicht kompakt
Du brauchst Arzela Asculi ..
war T_(A,B) nicht so definiert?
"definieren wir T_(A,B) als B(X) -> B(X) durch T_(A,B)(S) = ASB für alle S aus B(X)"