Flächeninhalt durch den Ähnlichkeitsfaktor bestimmen?
Hi Leute ich schreibe morgen eine Mathearbeit und hab ein kleines Problem. Als ich angefangen habe zu üben habe ich gemerkt das ich überhaupt keinen Plan habe was ich machen soll.
Jetzt bin ich auf eine Aufgabe gestoßen wo steht: Von zwei zueinander ähnlichen Dreiecken ABC und A'B'C' sind die seitenlängen a = 4cm und a' = 6 cm bekannt.Der Flächeninhalt von Dreieck A'B'C' beträgt 36 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt von dem Dreieck ABC.
In den Lösungen steht, das der Flächeninhalt 16 cm² beträgt. Ich würde jetzt gerne von euch wisssen, wie die darauf gekommen sind weil sonst versteh ich die ganze aufgabe nicht.
Schon mal vielen danke im Vorraus.
2 Antworten
Ich rechne das mal mit Variablen vor, weil das dann gleich für den allgemeinen Fall beweisend ist, und du es dann nicht nur für diesen speziellen Fall weißt, sondern auch für andere Aufgaben.
1) (Der "Multipikationspunkt" ist in allen Rechnungen weggelassen.) Bei ähnlichen Dreiecken stehen alle einander entsprechenden Seite im gleichen Verhältnis zu einander. Sei
a / a' = k <-> a = k a'. Dann ist auch
ha / ha' = k <-> ha = k ha'
Die Fläche A des Dreiecks ABC ist also
A = a ha / 2 = ( k a' ) ( k ha' ) / 2 = k² a' ha' / 2 = k² A' ,
wobei A' die Fläche des Dreieicks A' B' C' ist.
2) Du brauchst also nur k zu bestimmen und einzusetzen, dann hast du "direkt" die Lösung.
Die Überlegung funktioniert ganz genauso für die Flächen sämtlicher Figuren, die sich aus Dreicken zusammensetzen lassen (das sind alle eckig begrenzten, die so im Schulunterricht vorkommen) und auch für Kreise. Immer geht es um den Faktor k².
Als erstes schreiben wir auf was wir haben.
Erstmal die formel um den Flächeninhalt zu berechnen.
A=a*ha/2
Dann was wir haben.
Ähnliches Dreieck = gleiche winkel
36=6*ha/2
?=4*ha/2
Jetzt einfach ausrechnen =)
Hier hab ich mal einen Rechnenweg aufgeschrieben, aber probiere zuerst es selbst zu lösen: