Flächeninhalt Dreieck minimal
Moin. Ich verzweifel grade an einer Extremwert Aufgabe. Und zwar:
Die Strecke L(x) sei die Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie verlaufe durch den Fixpunkt mit den Koordinaten [a,b]. Berechnen Sie x so, dass die schraffierte Fläche A minimal wird.
Dazu gibt es eine Zeichung, wo das Dreieck zusehen ist, mit dem besagten Punkt a,b , welche auf der Hypothenuse liegt.
Ich habe es versucht mit der Hauptbediengung.** A = 1/2 xh * und dann weiter mit ner Geradengleichung. Bei der Ableitung hat es dann immer gehakt.
Wäre nett, wenn jmd nen Ansatz hätte und mir helfen könnte. Vielen Dank
1 Antwort
Hallo,
die zu minimierende Fläche des rechtwinkligen Dreiecks berechnet sich nach der Formel (1/2)*hx.
Das ist Deine Zielfunktion: y=(1/2)*hx.
Nun mußt Du allerdings noch a und b ins Spiel bringen. Dazu hilft Dir der Strahlensatz.
Da die Figur aus Parallelen besteht, die von einer Geraden geschnitten werden (der Hypotenuse), gilt nach dem Strahlensatz:
h/x=b/(x-a)
Nun kannst Du die Höhe h in Abhängigkeit von a, b und x ausdrücken:
h=(bx)/(x-a)
Das setzen wir in die Zielfunktion ein:
y=[(1/2)*bx²]/(x-a) oder (bx²)/2(x-a)
Davon brauchst Du die Ableitung, die Du nach der Quotientenregel finden kannst. Du erinnerst Dich? (u/v)'=(u'v-uv')/v²
u ist in diesem Fall bx², u' also 2bx,
v ist 2(x-a), v'=2, v²=4(x-a)²
y'=[2bx*2*(x-a)-2bx²]/4(x-a)²
Um das Minimum zu finden, mußt Du die Ableitung nun auf Null setzen.
Da links die Funktion steht und rechts nur eine Null, kannst Du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizieren und ihn so zum Verschwinden bringen. Beachten mußt Du allerdings, daß eine eventuelle Lösung x=a nicht definiert ist, weil der Nenner in diesem Fall Null würde. x=a wäre also keine akzeptable Lösung der Gleichung.
Wenn dies berücksichtigt ist, brauchen wir nur noch den Zähler zu betrachten und erhalten die Gleichung:
2bx*2*(x-a)-2bx²=0
Nun multiplizieren wir die linke Seite der Gleichung aus:
4bx²-4abx-2bx²=0
Wir können noch etwas zusammenfassen:
2bx²-4abx=0
2bx ausklammern:
2bx(x-2a)=0
Die Gleichung geht auf, wenn x entweder =0 ist, was als Lösung ausfällt, weil wir dann kein Dreieck haben, oder wenn x=2a.
Die Fläche wird somit minimal, wenn x doppelt so lang wie a ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hoffe, das stimmt so; ansonsten mögen mich bitte Berufenere korrigieren.