Fehlerfreie Mitternachtsformel ergibt eine unwahre Aussage?
Ich habe die obige Rechnung nun bereits mehrmals überprüft und konnte meinen Fehler leider dennoch nicht finden. Deshalb würde ich mich wirklich sehr darüber freuen, wenn mir jemand behilflich sein könnte, und mir verraten würde, wo mein Fehler liegt, oder weshalb eine (vermeintlich?) richtige Mitternachtsformel in diesem Fall eine unwahre Aussage liefert.
6 Antworten
Die Mitternachtsformel hast du in der Quadratischen Gleichung (die du nach dem Quadrieren erhalten hast) richtig angewendet. Das kannst du leicht prüfen, in dem du deine beiden Ergebnisse einsetzt in die quadratische Gleichung in der 7. Zeile..
Das Problem sind die Umformungen, die du VORHER gemacht hast!
Beachte: Quadrieren von Gleichungen – das ist nicht immer eine Äquivalenzumformung!
Beim Quadrieren von Gleichungen vergrößert sich meistens die Lösungsmenge der Gleichung. D.h. die Lösungsmenge der quadrierten Gleichung ist nicht mehr identisch mit der Lösung der ursprünglichen Gleichung, sondern enthält mehr Lösungen.
Simples Bsp:
Die Gleichung x=2 hat die simple Lösungsmenge {2}
Wenn du diese Gleichung quadrierst: x²=4 ergibt sich die Lösungsmenge {2, -2}
Die -2 ist aber nur Lösung der quadrierten Gleichung und ist KEINE Lösung der ursprünglichen Gleichung!
Wenn du eine Gleichung quadrierst, entstehen zusätzliche Lösungen, die nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung waren.
Daher muss man bei Wurzelgleichungen immer die Probe machen und diese hinzugekommenen Lösungen wieder ausschließen.
Bei einer Wurzel hat man immer 2 Vorzeichen
Beispiel: x1,2=+/- Wurzel(25)=+/- 5 also x1=+5und x2=-5
da steht dann +/-Wurzel(x-(+/- Wurzel(x+2))=2
Wurzeln sind in einer Gleichung immer problematisch.
Die Umformung ab Zeile 4 gilt nur für x >= 4, da sonst da stünde:
negativer Werte = Wurzel (....)
Durch das Quadrat wird diese Einschränkung verscheiert.
Da x = 2 die obige Bedingung nicht erfüllt, ist das keine gültige Lösung.
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Deswegen musst du auch immer die Probe machen, wenn du eine Gleichung quadriert hast.
In diesem Fall siehst du, dass bei x - 4 = sqrt(x + 2) der Wert x = 2 zu einer falschen Aussage führt, aber bei der Zeile danach schon nicht mehr.