Fehlerfortpflanzungsrechnung: Wieso 2 verschiedene Formeln mit anderen Ergebnissen?
Ich muss für eine Übung eine Fehlerfortpflanzungsrechnung für Folgende Werte machen: Gegeben: (x;y)=(1,05|2);(1,02|2,1);(0,98|1,8);(1,01|1,9);(0,95|2,2);(1,07|2,1);(1,02|1,8);(0,99|2)
Z(x,y)=(1/2)xy^2
delta x=0,05 delta y=0,1
Von mir errechnet:
Mittelwerte: x¯=1,01125 y¯=1,9875
Varianz: Var(x)=0,0012859 Var(y)=0,0185938
Standardabweichung: Var(x)^(1/2)=0,03586 Var(y)^(1/2)=0,13636
Ableitungen: dz/dx=(1/2)y^2 dz/dy=xy
Z(x¯,y¯)=1,997298
Jetzt zu meiner Frage: Ich habe 2 Formeln zur Fehlerfortpflanzung gegeben aber bei beiden kommen verschiedene Werte heraus. Die erste lautet:
delta Z = { [(dz/dx)^2] [(delta x)^2]+[(dz/dy)^2](delta y)^2 }^(1/2)
Dazu die Frage, muss man dort jeweils ein Wertepaar einsetzen oder den Mittelwert der Wertepaare.
Die zweite Formel lautet:
(delta Z) / Z = { ([(delta x)/x]^2) + ([(delta y)/y]^2) }^(1/2)
Dazu wieder die selbe Frage bzw. ob ich für x / y die Ableitung nach x / y gemeint ist. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß warum 2 Formeln mit verschiedenen Ergebnissen gegeben sind egal was ich einsetzte. Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte bzw. mich korrigieren, sollte ich einen Fehler gemacht haben.
P.s.: Han versucht es so übersichtlich wie möglich zu machen. Hoffe man kann alles erkennen.
4 Antworten
Du musst den Mittelwert benutzen.
Und so weit ich weiß muss für das Delta x auch die Standardabweichung rein, wobei mich die Angabe von dx und dy noch etwas irritiert.
Die braucht man eigentlich bei systematischen Fehlern. Deine Formel für die Fehlerabschätzung ist aber für zufällige Fehler (wobei durch das dy^2 etc. auch wieder nicht ganz, weil da eigentlich die Unsicherheit reinkommt).
Eventuell musst du beide Fehlerbetrachtungen kombiniert betrachten?
Also die Aufgabenstellung ist wie folgt:
Die Versuchsreihe (x- und y-Werte) diente zur Bestimmung Bestimmung der Größe Z. Der funktionelle Zusammenhang sei wie folgt:
Z(x,y) = (1/2)x(y^2)
Die absoluten Fehler bei den gemessenen Größen sind: delta x = 0,05 und delta y = 0,1
Führen Sie eine Fehlerfortpflanzungsrechnung zur Bestimmung des absoluten Fehlers der Größe Z durch.
Stehe was die Aufgabe angeht echt schon ziemlich lange auf dem Schlauch, weil sich mir die einzusetzenden Werte aus den Formeln nicht ganz erschlossen haben bzw. es zu viele Möglichkeiten mit verschiedenen Ergebnissen gab.
Die erste Formel gilt für fast beliebige Abhängigkeiten, die zweite Formel bezieht sich auf Z = X * Y (soweit ich mich erinnere).
Auf den ersten Blick sieht man sofort, dass (Delta Z)/Z nicht das gleiche ist wie delt Z.
In aller Regel ist Delta Z die Absolute Abweichung und Delta Z/Z die relative Abweichung bezogen auf den Wert von Z.
Bsp:
Du hast dx =+- 0,1m und misst 10m -> die Absolute Abweichung ist dx=0,1m und die Relative Abweichung ist dann 0,1m/10m =1/100 = +-0,01 bwz. +-1%.
Das heißt der Wahre wert liegt zwischen 10*(1+-1%)
Danke für die schnelle Antwort. Dachte es sollte einfach eine andere Darstellungsform sein, aber jetzt verstehe ich es. Jetzt noch die Frage welchen Wert muss ich für x und y in der ersten Formel einsetzen, da nach der absoluten Abweichung gefragt ist? Z.B. x=1,05 und y=2 oder die Mittelwerte x=x¯ und y=y¯ ?
Da musst du mal dein Skript durchblättern.
Das Problem ist:
Ich habe eben in meinem Skript und in Wikipedia nachgeschaut.
In meinem Skript steht das so:
Für Systematische Fehler:
dy = dy/dx1*deltax1 + dy/dx2*deltax2 ...
Und für zufällige Fehler:
sy= sqrt((dy/dx1*s1)^2 + .... )
In Wiki steht es ähnlich da, nur, dass sie nicht mit sy, sondern mit uy rechnen.
sy ist die Standardabweichung.
uy ist die Messunsicherheit. uy = t*sy/sqrt(n): t ist das Vertrauensniveau Abhängig von n.
https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung#Zuf.C3.A4lliger_Fehler
Skript:
y = f(x1,x2,...xn)
deltay = { [(df/dx1)^2] * [(deltax1)^2] + [(dz/dx2)^2] * (deltax2)^2 + ... +[(df/dxn)^2] * [(deltaxn)^2] }^(1/2)
Und steht da auch was das delatxn ist?
Egal, wo ich nachschaue, überall steht bei der Fehlerfortpflanzung, wo eine Wurzel drüber ist, die Messunsicherheit bzw. die Standardabweichung drin.
So steht es bei mir auch im Skript, aber jeder Faktor^2 und über die Summe der Produkte die Wurzel, oben habe ich nur x1=x und x2=y gesetzt, da ja Z = f(x,y) ist. Und die Formel im Skript allgemein y = f(x1,x2,....xn) lautet. Vielleicht habe ich das auch falsch verstanden.