Extremwertproblem?

Hey ich verstehe nicht wie ich die folgende Aufgabe lösen kann.Bin echt verzweifelt…

Answer 1

[evtldocha]

Das Zylinder-Volumen ist: $\left(1\right)\ V\ =\pi\cdot R^2\cdot x$

Der Pythagoras für das gezeichnete Dreieck ist natürlich $\left(2\right)\ 6^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2+R^2\rightarrow\ R^2=6^2-\left(\frac{x}{2}\right)^{^2}$ (Der Radius der Kugel mit 6 cm ist die längste Seite des Dreiecks)

Also $V\left(x\right)=\pi\cdot\left(6^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)\cdot x\ =\ \pi\cdot\left(36-\left(\frac{x}{2}\right)^{^2}\right)\cdot x$ die Zielfunktion (Die hast Du zwar markiert, aber über die falsche Zwischenstation).

Wenn man will, kann man den Term umformen zu: $V(x)=\pi\cdot(36x−\frac{1}{4}​x^3)$ $V'\left(x\right)=\pi\cdot\left(36-\frac{3}{4}x^2\right);\ V''\left(x\right)=-\pi\cdot\frac{6}{4}x$

Extremwert: $V'\left(x\right)=0:\ 36-\frac{3}{4}x^2=0\rightarrow\ x_{1/2}=\pm\sqrt{\frac{4\cdot36}{3}}=\pm\sqrt{48}$

Im Kontext der Aufgabe: $x>0\ \rightarrow\ x=+\sqrt{48}\ =\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$

Das ist auch ein Maximum da: $V''\left(4\sqrt{3}\right)=-\pi\ \frac{6}{4}4\sqrt{3}\ =-\pi\cdot6\cdot\sqrt{3}\ <0$

Radius des Zylinders (x in Formel (2)): $R^2=36−\left(\frac{4\sqrt{3}}{2}​\right)^{^2}​=36−\frac{48}{2}​=12\ \rightarrow\ R=\sqrt{12}$

Oder: $R=2\sqrt{3}$

Comments

[shaydeee21]

Vielen vielen Dank!!!!!🙏🏼🙏🏼🙏🏼