Extremstellen im Intervall berechnen?
Hallo! Ich soll die Extremstellen (Maximumstelle, Minimumstelle) einer quadratischen Funktion bestimmen. Die lautet: f(x)= x2 - 4x +5 im Intervall [0;4] . Wie soll das gehen? Danke im Vorraus! (ps.: 'x2' sollte x hoch 2 heißen)
4 Antworten
Du rechnest ganz normal die Extremstellen aus, wie du es immer machst. Nach erfolgter Rechnung schaust du nach, welche davon im Intervall [0;4] liegen und welche nicht. Diejenigen, die nicht im Intervall liegen, verwirfst du und zur Lösung gehören dann nur die, welche im besagten Intervall liegen.
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f(x) = x ^ 2 - 4 * x + 5
f´(x) = 2 * x - 4
f´´(x) = 2
2 * x - 4 = 0 | + 4
2 * x = 4 | : 2
x = 2
x = 2 liegt im Intervall [0;4] und ist damit eine Lösung
Nun berechnest du den zu x = 2 dazugehörigen Funktionswert durch einsetzen in f(x).
f(2) = 2 ^ 2 - 4 * 2 + 5 = 1
Der Extremwertpunkt ist also (2|1)
Da f´´(2) > 0 ist, deshalb ist der Extremwertpunkt ein Minimum.
Fazit -->
Minimum am Punkt (2|1)
Du berechnest die Extremstellen ganz normal und schaust dann, welche davon in dem Intervall liegen. Dann musst du die noch mit den Randwerten vergleichen und den Kleinsten, bzw. größten auswählen.
Hallo,
wenn die Extremstellen einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c auf einem abgeschlossenen Intervall [r;s] bestimmt werden sollen, kann man folgendermaßen vorgehen:
1. Man überprüft, ob der Scheitelpunkt der Funktion f im Intervall [r;s] liegt oder außerhalb, also ob gilt
Ist das der Fall, dann ist f in x = -b/(2a) minimal, wenn a > 0 ,
und maximal, wenn a < 0
(Denn wenn a > 0 dann ist Graph(f) eine nach oben geöffnete Parabel, und
ist a < 0 dann ist Graph(f) eine nach unten geöffnete Parabel.)
Betrachten wir weiter den Fall a > 0 (nach oben geöffnete Parabel) und
-b/(2a) ∈ [r,s] .
Jetzt schaut man sich noch die Randpunkte des Intervalls an.
Ist f(r) < f(s) , dann ist f in x = s auf [r,s] maximal.
Ist f(r) > f(s) , dann ist f in x = r auf [r,s] maximal.
Ist f(r) = f(s) , dann hat f auf [r,s] zwei Maximalpunkte, in x=r und x=s .
2. Liegt der Scheitelpunkt von f nicht im Intervall [r,s], dann schaut man sich f nur auf den Randpunkten des Intervalls an. Im dem Randpunkt x=r ist dann f minimal, im anderen, also in x=s maximal, oder es ist umgekehrt.
Werden wir konkret und betrachten o.a. Aufgabe:
f(x) = x² - 4x + 5 auf dem Intervall [0;4] .
Es gilt a = 1 > 0 (a ist der Koeffizient vor dem Term x² ), also ist Graph(f) eine nach oben geöffnete Parabel.
Liegt der Scheitelpunkt der Parabel im Intervall [0;4] ?
-b/(2a) = -(-4)/(2•1) = 4/2 = 2 ∈ [0;4]
Die Antwort lautet "ja", also ist f auf [0;4] in x=2 minimal. (Es gilt f(2) = 1)
Nun die Prüfung der Randwerte:
f(0) = 0² - 4•0 + 5 = 5
f(4) = 4² - 4•4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5
f ist auf [0;4] in x=0 und in x=4 maximal ( weil f(0) = f(4) )
Wäre das Intervall nicht [0;4] , sondern z.B. [1;5], dann gilt
f(1) = 2 und f(5) = 10 (bitte nachrechnen).
Der Minimalpunkt von f auf [1;5] läge weiterhin in x = 2 und der Maximalwert von f auf dem Intervall [1;5] läge bei x=5 ( weil f(5) > f(1) ) .
Gruß
Ableitung bilden : 2x -4
Gleich null setzen : 2x-4=0
Lösungen sind: x=2 liegt im intervall
Nun 2. Abl. Bilden : 2 (ist größer 0) also tiefpunkt