Extremalwertproblem Aufgabe?

Hi!

In der Aufgabe habe ich Probleme mit dem Berechnen des Punktes P. Den Flächeninhalt habe ich schon raus, und zwar 4. Nur weiß ich einfach nicht, wie ich auf den Punkt P kommen kann.

Danke🥰

Answer 1

[mihisu]

Naja. Wie hast du denn den maximalen Flächeninhalt gefunden? Da solltest du doch zugleich auch die passende x-Koordinate des Punkte P erhalten haben, wenn du es mit üblichen Methoden gelöst hast.

Oder hast du den Flächeninhalt einfach geraten? Der ist nämlich falsch... Der maximale Flächeninhalt beträgt 16/9 ⋅ √(3), also etwa 3,08.

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Hinweis stelle zunächst einen Term für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit der x-Koordinate des Punktes P auf. Bzw. würde ich statt der x-Koordinate des Punktes vielleicht sogar eher den Betrag der x-Koordinate verwenden...

Wenn man den Betrag der x-Koordinate des Punktes p mit a bezeichnet, sodass die x-Koordinate des Punktes P dann -a ist. Wie groß ist dann die y-Koordinate des Punktes P? Was haben die Koordinaten des Punktes P mit den Seitenlängen des Rechtecks zu tun?

So kann man dann einen Term für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a aufstellen. Bestimme das Maximum der dadurch gegebenen Funktion. [Das Maximum ist der gesuchte maximale Flächeninhalt. Mit dem Wert a, für den der Flächeninhalt maximal wird, kann man dann die Koordinaten des Punktes a erhalten.]

====== Ergänzung: Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Sei a der Betrag der x-Koordinate des Punktes P. Da die x-Koordinate des Punktes P im Bereich von -2 bis 0 liegen soll, gilt 0 ≤ a ≤ 2.

Für die Koordinaten des Punktes P erhält man dann...

$x_P=-a$ $y_P=f\left(x_P\right)=f\left(-a\right)=-\frac{1}{2}\cdot \left(-a\right)^2+2=-\frac{1}{2}\cdot a^2+2$

Die Breite des Rechtecks ist dann offensichtlich 2 ⋅ a und die Höhe des Rechtecks ist offensichtlich y[P], also -1/2 ⋅ a² + 2. Für den Flächeninhalt des Rechtecks erhält man dann...

$A=2\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\cdot a^2+2\right)=\underbrace{-a^3+4a}_{F\left(a\right):=}$

Der Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von a ist also durch eine Funktion mit Funktionsterm F(a) = -a³ + 4a gegeben. [Bzw. kann man die Variable der Funktion auch mit x benennen, wenn dir das lieber wäre. Die Funktionsgleichung wäre dann F(x) = -x³ + 4x.]

Um das Maximum dieser Funktion F zu bestimmen, kann man die Ableitung von F betrachten.

$F\left(a\right)=-a^3+4a$ $F'\left(a\right)=-3a^2+4$

$F'\left(a\right)=-3a^2+4=-3\cdot \left(a^2-\frac{4}{3}\right)=-3\cdot \left(a - \sqrt{\frac{4}{3}}\right)\cdot \left(a + \sqrt{\frac{4}{3}}\right)$

Der Flächeninhalt wird demnach für a = √(4/3) maximal. Der entsprechende Flächeninhalt ist dann...

$A_\text{max}=F\left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)=-\left(\frac{4}{3}\right)^3+4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{9}\cdot\sqrt{3}\approx 3\text{,}08$

Für die entsprechenden Koordinaten des Punktes P erhält man dann...

$x_P=-\sqrt{\frac{4}{3}}=-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3}\approx -1\text{,}15$

$y_P=-\frac{1}{2}\cdot \left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^2+2=\frac{4}{3}\approx 1\text{,}33$

Comments

[verreisterNutzer]

Geraten habe ich den sicherlich nicht. Den hatten wir im Unterricht berechnet, was falsch scheint.

[verreisterNutzer]

Ich hab’s jetzt raus! Hatte nur eine Variable vergessen, was wiederum die komplette Ableitung falsch gemacht hatte. Danke!

Answer 2

[Zwieferl]

Der Punkt P liegt auf der Parabel! → P(x | -0,5x²+2) → Fläche: A = x·(-0,5x²+2) → Maximum bestimmen (also 1. Ableitung null setzen und x ausrechnen).

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – langjährige Nachhilfe