Extremalrechnung wie?
Aufgabe 2 steht in dem Bild
Komme nicht voran , weis nicht wie ich p ausrechnen kann
Danke im voraus
2 Antworten
Der Punkt P hat die Form P(x | f(x))
Der Flächeninhalt eines Rechtecks wird durch A = x * y bestimmt.
y = f(x)
Also :
f(x) = - x ^ 3 + x ^ 2 + 2 * x
A(x) = x * f(x)
A(x) = x * (- x ^ 3 + x ^ 2 + 2 * x) = - x ^ 4 + x ^ 3 + 2 * x ^ 2
Ableitungen bilden :
A´(x) = - 4 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 4 * x
A´´(x) = - 12 * x ^ 2 + 6 * x + 4
Nullstellen von A´(x) ermitteln :
Tipp --> x ausklammern und Satz vom Nullprodukt und danach pq-Formel anwenden auf den Term in der Klammer.
- 4 * x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 4 * x = 0
x * (-4 * x ^ 2 + 3 * x + 4) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt ist :
x_1 = 0
-4 * x ^ 2 + 3 * x + 4 = 0 | : -4
x ^ 2 - (3 / 4) * x - 1 = 0
pq-Formel anwenden mit p = - (3 / 4) und q = - 1
x_ 2 = (3 / 8) - √(73) / 8
x_ 3 = (3 / 8) + √(73) / 8
x_2 kann man ignorieren, weil x_2 negativ ist und nicht im 1-ten Quadranten des Koordinatensystems liegt.
https://www.matheretter.de/lessons/f01/koordinatensystem-quadranten.png
Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen, um zu ermitteln, was Hochpunkte und was Tiefpunkte sind :
A´´(x) = - 12 * x ^2 + 6 * x + 4
A´´(0) = - 12 * 0 ^2 + 6 * 0 + 4 = 4 weil das > 0 ist, ist das ein Tiefpunkt (Minimum)
A´´((3 / 8) + √(73) / 8) = - 12 * ((3 / 8) + √(73) / 8) ^2 + 6 * ((3 / 8) + √(73) / 8) + 4 = -12.329001404494075
weil das < 0 ist, ist das ein Hochpunkt (Maximum)
Hätte man sich sparen können, weil der Flächeninhalt mit x = 0 auch Null wird, aber habe ich trotzdem gemacht, um dir das mal zu zeigen.
Also liegt das Maximum bei x = (3 / 8) + √(73) / 8 = 1.4430004681646913
Das noch in f(x) einsetzen :
f(x) = - x ^ 3 + x ^ 2 + 2 * x
f((3 / 8) + √(73) / 8) = - ((3 / 8) + √(73) / 8) ^ 3 + ((3 / 8) + √(73) / 8) ^ 2 + 2 * ((3 / 8) + √(73) / 8) = 1.963563055945571
Der Punkt P lautet also P(1.4430004681646913 | 1.963563055945571)
Der maximale Flächeninhalt beträgt :
A = 1.4430004681646913 * 1.963563055945571 = 2,833422409 Flächeneinheiten
Also so weit ich verstanden hab: Hauptbedingung ist A(x,y)= x*y
Nebenbedingung ist f(x)=y= -x^3+x^2+2x
Zielfunktion ist A(x)=x*(-x^3+x^2+2x)
A(x)=-x^4+x^3+2x^2
A'(x)= -x^3+x^2+2x
Und dann nur noch die rechnung mit N.B. und H.B. oder?*
Geht nicht mehr, morgen schreibe ich die Klausur ^^
leider eine schlechte angewohnheit....
würde mich freuen, wenn du bestätigen könntest ob das was ich geschrieben habe richtig oder falsch ist ^^
Meine Meinung ist, dass du es dir hier mit Zielfunktion, Nebenbedingung, Hauptbedingung, Extremalfunktion nur unnötig kompliziert machst.
Mache es so, wie fjf100 oder ich es dir gezeigt haben, und gut ist es.
Es geht doch nicht darum ob ich es mit unnötig kompliziert mache, mein Lehrer will es so haben und da kann ich leider nichts machen. Ein einfaches ja oder nein würde genügen....
nochmal danke für deine Antwort :)
Rechteckfläche A=a*b=f(x)*x
A(x)=(-x³+x²+2*x)*x=-x⁴+x³+2*x²
Mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) x1max=-0,693.. x2max=1,443..
Wir wählen xmax=1.443
in "Handarbeit" ableiten
A´(x)=0=-4*x³+3*x²+4*x eine Nullstelle bei x=0
0=x*(-4*x²+3*x+4) weitere Nullstellen,wenn der Klammerausdruck zu NULL wird
0=-4*x²+3*x+4 Nullstellen bei x1=-0,693 und x2=1,443
Den Rest schaffst du selber
Also so weit ich verstanden hab: Hauptbedingung ist A(x,y)= x*y
Nebenbedingung ist f(x)=y= -x^3+x^2+2x
Zielfunktion ist A(x) Also..: Hauptbedingung ist A(x,y)= x*y
Nebenbedingung ist f(x)=y= -x^3+x^2+2x
Zielfunktion ist A(x)=x*(-x^3+x^2+2x)
A(x)=-x^4+x^3+2x^2
A'(x)= -x^3+x^2+2x
Und dann nur noch die rechnung mit N.B. und H.B. oder?