Exponentielles Wachstum?
Hallo,
wie kann ich folgende Aufgabe lösen?
Ein Unternehmen stellt seine Produktion auf Fahrräder um. Für den ersten Auftrag sollen 100.000 Fahrräder hergestellt werden. Das Unternehmen kann in der ersten Woche 1.000 Stück produzieren, dann kann die wöchentliche Stückzahl Woche für Woche um je 200 Stück erhöht werden.
Ein Tipp würde mir schon reichen.
Wie viele Fahrräder werden in der 21. Woche produziert?
2 Antworten
Zur Kontrolle: Wir erwarten ja sowas wie:
t=0 -> 1000 Fahrräder pro Woche
t=1 -> 1200 Fahrräder pro Woche
t=2 -> 1400 Fahrräder pro Woche
t=3 -> 1600 Fahrräder pro Woche
etc.
ACHTUNG: Die erste Woche ist nicht t=1!!!!!! Den Fehler macht man schnell.... Aber man stelle sich folgendes vor: Der Kunde bestellt und ab dann produziert man. Deshalb t=0. Bei t=1 wäre die erste Woche schon rum und die zweite Woche beginnt...
Hier erkennt man schon, dass das auf gar keinen Fall exponentielles Wachstum sein kann, sondern lineares Wachstum sein muss. Die Differenz zwischen den einzelnen Zeitabschnitten ist nämlich kein konstanter Faktor.
Dann probiern wa es doch mal....
Allgemein ist ja lineares Wachstum sowas:Den Anfangsbestand kennen wir:Dann setzen wir den Wert für t=1 mal ein:Also:Daher:Und jetzt aufpassen mit dem einsetzen. Die erste Woche ist t=0. Also ist die 21. Woche t=20. Daher:Also werden 5000 Räder in der 21. Woche produziert.
Ich finde die Aufgabe ehrlich gesagt schlecht formuliert.... Auch frage ich mich was das mit den 100.000 Fahrrädern soll... Aber naja... Vielleicht gibt es ja einen zweiten Aufgabenteil....
Hoffe ich konnte helfen!
Bemerkung: Gewissermaßen gibt die gefundene Funktion eine Änderungsrate [Fahrräder/Woche] an. Wenn man diese Funktion integriert, erhält man daher eine Funktion für die tatsächlich produzierten Fahrräder insgesamt.
Das ist das, was ich unten erwähnt habe. Kurz als Frage, damit ich weiß wo ich mit meiner Erklärung ansetzen muss: Hattet ihr schon Stammfunktionen/Integrale etc.?
Wenn ich die Funktion integrierte, lautet die Stamm Funktion nicht
F(x) = 1000x + 100 x^2
Genau, super! Und jetzt bestimmst du das Integral von 0 bis 20. Also quasi F(20)-F(0). Wieso nicht 21 hab ich ja oben erklärt.
Super, danke für deine Hilfe. Gibt es vielleicht auch eine Möglichkeit die Aufgaben im Rahmen von Folgen zu bearbeiten?
Hmm.... Lass mich mal überlegen....
bei t=0 hast du ja 1000 Fahrräder.
bei t=1 dann 1000+1200 = 2200 Fahrräder
bei t=2 dann 2200+1400 = 3600 Fahrräder
bei t=3 dann 3600+1600 = 5200 Fahrräder
Auf den ersten Blick könnte das doch die Folge a(n)=n*(n+9)*100 sein, oder? Überprüf du es bitte auch noch mal. Sitze grad im Zug und hab keinen Stift zur Hand, um es genauer durchzurechnen....
Generell kannst du aber alternativ auch den Graphen aufzeichnen und die Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen berechnen....
Ich glaube, da ist ein Fehler bei t = 0. Das wären dann ja 0 Fahrräder zum Zeitpunkt t=0.
Ah ja, tatsache. Nimm mal statt n jeweils n+1. Also a(n)=(n+1)*(n+10)*100. Hauts so hin?
x mal 1.000 + x mal 200 = 100.000 (x ist die Anzahl der Wochen)
so würde ich des rechnen. und jetzt mit äquivalenzumformungen x ausrechnen (des überlass ich mal dir :) )
Das ist Quatsch.
- Es geht gar nicht um die 100.000 Fahrräder. Es ist nur die 21. Woche gefragt
- Dann hättest du für die zweite Woche 2400 Fahrräder/Woche, was definitiv nicht stimmt. Wenn die erste Woche 1000 Fahrräder sind und da steht: es wird um 200 erhöht, muss es 1200 Fahrräder/Woche sein.
Zu deinem ersten Punkt als ich meine Antwort geschrieben hab wurde die Frage noch nicht editiert, sodass es um die 21 wochen geht, also in dem Punkt hast du recht. Zu 2tens kannst mir erklären wo: N(20)=1000+200⋅20=5000 exponentielles wachstum sein soll, wenn die anzahl der fahrräder linear pro woche um 200 Räder steigt. Es wäre allerdings exponentiell, wenn die Anzahl der Fahrräder pro woche nach meiner rechnung steigt: x*1000 + 200*(x-1). Jede Woche wird die Stückzahl um je 200 Fahrräder erhöht, also kommen in der 2ten Woche 1200 Fahrräder zu den bereits 1000 Fahrräder von der ersten Woche dazu. In der dritten Woche kommen dann 1400 Fahrräder zu den jetzt 2200 Fahrrädern dazu. (exponentiell steigend) Wie soll des nach deiner logik sinn ergeben. Du glaubst ja wohl selbst nicht dass die anzahl der produzierten Fahrräder nach der ersten Woche abnimmt und nur noch 200 Fahrräder pro Woche dazu kommen. Die richtige Lösung sollte f(21) = 21*1000 + 20*200 = 25.000 Fahrräder sein. Ist glaub ich auch n bisschen näher an den 100.000 Fahrrädern als deine 5000.
Die Stückzahl wird um 200 Fahrräder pro woche ERHÖHT, wer lesen kann ist klar im Vorteil
1000x+200*(x+1)
Liefert:
x=1 -> 1000
x=2 -> 2200
x=3 -> 3400
etc.
Eine ganz wichtige Eigenschaft von exponentiellem Wachstum ist, dass der Bestand pro Zeiteinheit immer um den gleichen Prozentsatz zunimmt. Das tut es bei dir aber nicht. Der Quotient aus 2200 und 1000 liefert einen anderen Wert als der Quotient aus 3400 und 2200. Deshalb liegt hier definitiv kein exponentielles Wachstum vor.
Siehe z.B https://www.mathebibel.de/exponentielles-wachstum#charakteristikum
Du hast in der Tat Recht, dass 5000 weit von den 100.000 entfernt sind. Allerdings wird die 100.000 in diesem Aufgabenteil nicht erwähnt. Ich vermute daher sehr stark, dass es einen zweiten Aufgabenteil gibt. Daher macht dein Hinweis diesbezüglich wenig Sinn.
Du scheinst leider die Formulierung nicht zu verstehen. Wie gesagt: "wöchentliche Stückzahl". Das meint: Stückzahl pro Woche. Keine Stückzahl.
Lass mich dir ein Beispiel geben.... Geh bitte mal auf diese Webseite hier: https://www.shiftjuggler.com/de/stundenlohnrechner/ Die hat nichts mit dem Thema zu tun, aber nutzt die Formulierung: wöchentliche Arbeitszeit. Hier wird vielleicht ersichtlich, dass "wöchentlich" definitiv pro Woche meint.
Das Unternehmen produziert in der ersten Woche 1000. Also 1000 pro Woche. Oder man könnte sagen: 1000 wöchentlich. Diese wöchentliche Produktion erhöht sich um 200.
Das habe ich so geschrieben. Kein Grund patzig zu werden.
Danke für deine Antwort. Ist die Gleichung nicht wie folgt:
f(x) = 1.000 + 200 * (x-1)
f(1) = 1.000 + 200 * (1-1)
f(2) = 1.000 + 200 * (2-1)
...
In der Aufgabe heißt es dass die stückzahl pro woche um 200 vergrößert wird, dass heißt doch, dass bei z.b. bei der 2ten Woche 1200 dazu kommen dass würde, des heißt dass der es dann 2200 nach 2 Wochen sind. Demnach müsstest du eigentlich noch x*1.000 rechnen.
Das stimmt tatsächlich! Allerdings sehe ich hier eine Ungenauigkeit in der Modellierung.... In der Regel sagt man, dass man mit t=0 beginnt. Aber sonst vollkommen richtig!
Das stimmt nicht. Da steht: Die "wöchentliche" Stückzahl. Also Stückzahl pro Woche. Nicht die Stückzahl insgesamt.... Es geht hier um Produktionsraten.
Danke für deine hilfreiche Antwort. Wie kann ich jetzt berechnen, wie viele Fahrräder insgesamt bis zur 21. Woche produziert wurden.
Ich versuche eine passende Folgen zu finden, es gelingt mir aber einfach nicht.
Wie kann ich die Gesamtsumme berechnen ohne jeden einzelnen Wert auszurechnen und zu addieren?