Exponentieller Zerfall Hilfe?
Guten Tag. Wie muss ich diese Aufgabe lösen? Mit freundlichen Grüßen
5 Antworten
ganz einfach...halbwertszeit ist die zeit die es braucht bis es zur hälfte zerfallen ist....
dann einfach einsetzten in die formel
Das ist eine exponentielle Abnahme siehe Mathe-Formelbuch Exponentialfunktion
f(x)=a^x
kommt in der Form vor N(t)=No*a^t
No=zerfallsfähige Kerne zum Zeitpunkt t=0 N(0)=No*a^0=No*1=No
a>1 exponentielle Zunahme
0<a<1 exponentielle Abnahme
mit mo=c*No und m(t)=c*N(t) hier c=Masse von 1 Teilchen
mo/c=No und m(t)/c=N(t)
m(t)/c=mo/c
also m(t)=mo*a^t mit der Halbwertszeit T=0,164 s ist m(T)=mo/2
mo/2=mo*a^T
1/2=a*T
a=T.te Wurzel(0,5)=0,164.te Wurzel(0,5)=0,0146..
m(t)=mo*0,0146^t Probe: m(0,164)=mo*0,0146^0,164=mo*0,5 stimmt also
(ii) mo=2 kg
m(t)=2 kg*0,0146^(5 s)=1,326*10⁹ kg
alternativ kann man auch die Formel für den radioaktiven Zerfall anwenden.
N(t)=No*e^(-b*t)
b=Zerfallskonstante,abhängig vom Material
N(T)=No/2
No/2=No*e^(-b*T)
1/2=e^(-b*T) logarithmiert
ln(1/2)=-b*T
b=ln(0,5)/(-T)=ln(0,5)/(-0,164)=4,2265..
m(t)=mo*e^(-4,226*t)
die Menge zum Zeitpunkt t
ist gleich der Anfangsmenge mal
Zerfallsrate q hoch t
Als Formel : M(t) = M(t=0) * q^t
----------------------------------------------------------------
Nach 0.164 Sekunden ist nur noch die Hälfte vorhanden , daher ::::
0.5 = 1 * q^0.164 ist die Formel mit Werten
wir ziehen die 1000/164 wurzel und erhalten so
0.5^1000/164 = q = 0.01460
---------------------------------------------------------------------------
Wenn M(0) = 2kg und t = 5 sekunden und q = 0.01460
muss man die Werte nur noch in
M(t) = M(t=0) * q^t
einsetzen.
2 * 0.01460^5
und erhält so einen sehr sehr kleinen Restbestand.
Halbwertszeit bedeutet eine prozentuale Abnahme um 50 %
m(t) = m(0) * (1 - 50 / 100) ^ (t / 0.164)
m(0) = 2
t = 5
m(5) = 2 * (1 - 50 / 100) ^ (5 / 0.164) = 1,3282695765252514 * 10 ^ -9 kg
M(t) = Mo • 2^(-t/0,164s) mit t in s
problem : dein Wert bei t = 5 unterscheidet sich von meinem um ca den Faktor 1/10
woran kann es liegen ? ich habe nicht gerundet bei q .
mein Wert
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+*+(0.5%5E(1000%2F164))%5E5
dein Wert
https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*2%5E(-5%2F0.164)
Fazit : nee doch kein Unterschied , hatte m = 2 kg nicht eingesetzt.
Darum : zwei Antworten , zwei Modelle zur halbwertszeit. Wobei deins das schnellere und offensichtlichere ist.
Ich bräuchte konkrete Ansätze.. Lg