Exponentielle Funktionen. Wie funktioniert die Aufgabe?
Ich lerne gerade für meine Mathearbeit und bin mir bei dieser Aufgabe sehr unsicher. Würde mich über Hilfe freuen.
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Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sie sich alle 4 Tage verdreifacht. Am Anfang sind 60 Bakterien vorhanden.
a) Gib die prozentuale Wachstumsrate pro Tag an.
b) Wie viele Bakterien sind nach 8 Tagen, 10 Tagen, 3 Wochen vorhanden?
5 Antworten
Exponentialfunktion f(x)=a^x
"exponentielles Waxgstum" N(t)=No*a^t mit a>0
No Anfangswert bei t=0 also N(0)=No*a^0=No*1
N(4)=No*3 ergibt
3*N0=No*a^4 ergibt 3=a^4
a=4.te Wurzel(3)=1,316..
also ist die Formel N(t)=60*1,316^t
a) N(1)=No+No/100%*p=No*(1+p/100%)
N(1)=No*1,316^t=No*(1+p/100%)^1
also ist 1,316=1+p/100% ergibt p/100%=1,316-1=0,316
p=0,316*100%=31,6% Wachstum proTag
b) N(3)=60*1,316^8=539,76
N(10)=60*1,316^10=934,78
N(21)=60*1,316^21=19165,71 3 Wochen sind 3*7 Tage=21 Tage
Formel:
N = No • 3^(1/4 • t)
a) 3^(1/4 • 1) = 1,316 → 31,6% Wachstumsrate
b)
N = 60 • 3^(1/4 • 8) = 540
usw
Bei so wenigen Werten kommt man auch schnell durch Ausprobieren auf das Ergebnis, wenn nicht durch systematisches Überlegen.
y(t)=A* 3^(t/4)
Bei t= 4 ist der Exponent 1, und der Ausgangswert A wird mit 3^1 multipliziert -> verdreifacht.
Bei t= 8 (wieder 4 Tage später) ist der Exponent 8/4=2, der Ausgangswert wird mit 3^2 multipliziert -> verneunfacht, was wiederum in Bezug auf die Vorperiode t=4 eine Verdreifachung ist.
a)
a^4 = 3 | √
a = 4√3
a = 1,136 Wachstumsrate pro Tag
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b)
60 * 1,136^8 = 166 nach 8 Tagen
60 * 1,136^10 = 214 nach 10 Tagen
60 * 1,136^21 = 873 nach 3 Wochen
f(t)= 60 * 3 ^ (t / 4)
b.)
f(8) = 60 * 3 ^ (8 / 4) = 540
f(10) = 60 * 3 ^ (10 / 4) = 935 gerundet !!
f(21) = 60 * 3 ^ (21 / 4) = 19188 gerundet !!
3 Wochen sind 21 Tage