Exponentialfunktion lösen?

Die Bevölkerung einer Region ist von 2002 bis 2017 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2002 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2017 hatte sie 105000 Einwohner. Wir gehen von der Ausnahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

a) Wie viele Einwohner wird die Region im Jahr 2022 haben?

b) Wann wir die Region 150000 Einwohner erreichen?

Hinweis: Zähle die Jahre von 2002, dh. t=0 entspricht dem Beginn des Jahres 2002!

Wie löst man die Aufgabe? Bitte eine schnelle Antwort.

Answer 1

[evtldocha]

Ansatz: $E\left(t\right)=82000\cdot b^t$

Der Wachstumsfaktor "b" muss noch bestimmt werden mit: $E\left(15\right)=105000\ \rightarrow\ 82000\ b^{15}=105000\ \ \rightarrow\ b=\sqrt[15]{\frac{105000}{82000}}\approx1,0166$

Damit lautet die Wachstumsfunktion

$E\left(t\right)=82000\cdot\left(\sqrt[15]{\frac{105}{82}}\right)^t$

Für Aufgabe a) rechnest Du E(20) aus.

Aufgabe b) Löse die Gleichung

$82000\cdot\left(\sqrt[15]{\frac{105}{82}}\right)^t=150000\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ :\ 82000\ \ |\ln\ \$ $t\cdot\ \ln\ \left(\sqrt[15]{\frac{105}{82}}\right)=\ln\ \left(\frac{150}{82}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ :\ \ln\left(\sqrt[15]{\frac{105}{82}}\right)$ $t=\frac{\ln\left(\frac{150}{82}\right)}{\ln\left(\sqrt[15]{\frac{105}{82}}\right)}$

$t\ \approx36,6$