Exponentialfunktion aus 3 Punkten?
Hey, hab morgen ne Arbeit und ne Frage: hab also die allg. Formel x->b•a^x und soll jetzt a und b so bestimmen, dass er durch drei Koordinaten geht, z.B. durch P(1|4); Q(3|1); R(5|1/4). Ich weiß, wie man die Funktion aus zwei Punkten berechnet, aber wie denn aus dreien oder mehreren?
3 Antworten
Ich weiß, wie man die Funktion aus zwei Punkten berechnet, aber wie denn aus dreien oder mehreren?
Entweder hat die Funktionsgleichung einen dritten Parameter, z.B. x->b•a^x + c
Dann geht die Rechnung wie mit 2 Punkten, nur eben eine Gleichung mehr und damit mehr Rechenaufwand.
Oder die Aufgabe ist wirklich so wie beschrieben. Dann: Aus 2 Punkten die Gleichung ermitteln, und dann prüfen, ob der Punkt auf der so gefundenen Kurve liegt. Wenn nicht, hast Du Dich entweder verrechnet, oder es gibt keine Lösung.
Ich weiß nicht, was Du mit " (II)/(I) " meinst, aber es muss wohl darauf hinauslaufen, dass Du eine der beiden Unbekannten eliminierst. Gebräuchliche Verfahren dazu in der Schule sind Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren.
Wenn Du drei Gleichungen und drei Unbekannte hast, dann wirfst Du genauso eine der drei Unbekannten aus Gleichung I und II raus und bekommst so eine neue Gleichung IV mit nur noch 2 Unbekannten.
Ebenso wirfst Du dieselbe Unbekannte aus Gleichung I und III (oder aus II und III, ist egal) raus und bekommst so eine neue Gleichung V mit nur noch 2 Unbekannten.
Jetzt kannst Du das Gleichungssystem IV und V (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) lösen.
Durch je zwei der drei Punkte P, Q, R gehen zwei verschiedene Parabeln, da die Parameter unterschiedliches Vorzeichen haben können und die angegebenen Abszissen u = 1, 3, 5 ungerade sind:
b * a^u =
-b * (-1)^u * a^u =
-b * (-a)^u
Also bestimmt erst ein dritter Punkt die Parameter a, b eindeutig.
Die Gleichung der Exponentialfunktion ist y = 8 * (1/2)^x.
Was bringt Dir der dritte Punkt?
Einerseits ist die Exponentialfunktion ohnehin nur für a > 0 definiert.
Andererseits wäre b = -8, a = -0,5 auch für den dritten Punkt eine Lösung, da alle 3 Punkte ungerade x-Werte haben.
A. Erst einmal merke ich beim erneuten Lesen, dass ich eine Exponentialfunktion als Parabel verkauft habe. Das ist FALSCH und sicher keine Hilfe für den Fragesteller.
B. Wikipedia definiert Exponentialfunktionen mit a > 0. Frage allerdings, ob das für diese Aufgabenstellung vogegeben war.
C. Mit deinem Einwand gegen meiner Argumentation hast du Recht.... so hilft das also auch nichts.
ich denke mal, dass die Fragestellung eher aussieht wie. liegen die 3 Punkte auf der Kurve?
"mehr Rechenaufwand"? Wie würde das denn ausschauen? Ich meine, ich rechne bei zwei Punkten immer (II)/(I) und setze dann a in die Gleichung (I) ein, und dann hab ich meine Funktion. Aber wie funktioniert das denn jetzt mit drei Koordinaten? :(