Erwartungswert und Standardabweichung?
Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei den oben genannten Begriffen in Bezug auf die Mathematik. Bsp. habe ich folgende Aufgabe:
"In Mitteleuropa haben 38% der Menschen die Blutgruppe 0. Bei 100 zufällig ausgewählten Personen wird die Blutgruppe bestimmt. Geben Sie eine Umgebung um den Erwartungswert an, in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% die Anzahl der Personen liegt, die die Blutgruppe 0 haben."
Wir haben erst heute das Thema angefangen und möchte es unbedingt anhand dieses Beispiels erlernen. Kann mir jemand anhand dessen auch die Begriffe "eine Umgebung um den Erwartungswert" erklären und mir auch sagen, was genau hier zu berechnen ist? Ich weiß, dass n=100 ist. Woher soll ich jetzt auch wissen, was mein p ist? Also Erfolgswahrscheinlichkeit? usw.
2 Antworten
bei Prozentzahlen ist der EW n*p
p = 0.38 , n also 38
.
Nun kann man ja nicht erwarten , dass bei 100 genau ! 38 Nuller dabei sind .
.
Man kann aber die Grenzen berechnen , zwischen denen 90% der Wahrscheinlichkeit liegt .
Wobei es die Grenzen von 38 plus bzw 38 minus sind.
.
Wenn ihr gerade angefangen habt, dann kennt ihr noch nicht die Normalverteilung NV
.
Also Binomialverteilung BV ( n = 100 , p = 0.38 , k = ? die Grenzen )
.
Das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür
46 oder mehr sind es 6.22% , 47 oder mehr 4.11%
30 oder weniger 5.94%
31 oder weniger 8.89%
Nun kann man sagen im Intervall [ 30 ; 46 ]............100 - 5.94 + 6.22 = 87.84%
[ 30 ; 47 ] ............100 - 4.11 + 5.94 = 89.95 %
Hallo.
Erwartungswert beschreibt quasi die Anzahl der Personen die man basierend auf der Wahrscheinlichkeit mit Blutgruppe 0 erwarten kann.
Wenn also 100 Personen zufällig ausgewählt werden und 38% der Menschen in Mitteleuropa haben die Blutgruppe 0, dann ist der Erwartungswert:
E = p * n
E = 0,38 * 100
E = 38
Wir würden also 38 Menschen mit Blutgruppe 0 erwarten.
Allerdings gibt es hier einen gewissen Spielraum. Dass es genau 38 sind kann zwar durchaus sein, aber realistisch betrachtet würden wir ein Interval erwarten. Diesen können wir mathematisch berechnen und dafür gibt es die sogenannte Standardabweichung.
Als grobe Faustregel gilt, dass eine Standardabweichung um den Erwartungswert rund 68% aller Wahrscheinlichkeiten umfasst. Bei 2 Standardabweichung sind es bereits 95% und bei 3 Standardabweichungen dann bereits 99,7%.
Wenn die Standardabweichung bei deinem Beispiel also vielleicht 5 wäre (ich habe sie nicht berechnet, es soll nur zu Veranschaulichung dienen), dann würdest du mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% -> 38 +- 5 Menschen mit Blutgruppe 0 erwarten können. Also 33 - 43.
Allerdings waren die 5 nicht berechnet und ist in deiner Aufgabe nach 90% gefragt. Das ist keine Aufgabe für die erste Stunde! 😉👍
Danke!! Ich habe Mathe Leistungskurs, also nicht wundern :D