Entropie ideales Gas?

Ich betrachte zwei Szenarien: a) Zwei Gase, jeweils in einem separaten Behälter mit dem Volumen V0; b) Zwei Gase zusammen in einem einzigen Behälter mit dem Volumen V0​. In welchem System ist die Entropie höher?

Ich glaube wenn die Gase aus anderen Molekülen sind dann bleibt die Entropie gleich, aber was wenn das dieselben Gase sind?

Answer 1

[Hamburger02]

In System b) ist die Entropie eindeutig höher. Der Differenzbetrag zu a) beträgt mindestens die Mischungsentropie, wenn man die Trennwand zwischen den beiden (unterschiedlichen) Gasen entfernt.

Anschließend muss noch eine Kompression erfolgen, um von 2 * Vo auf 1 * Vo zu kommen. Diese Kompression ist theoretisch isentrop möglich, wenn sie adiabat und reversibel erfolgt. Dann entsteht keine zusätzliche Entropie. In der Praxis ist eine reibungsfreie Kompression nicht möglich, sodass dabei weitere Entropie entsteht, die die Differenz zu a) weiter erhöht.

Handelt es sich um das selbe Gas, kann die Entropie in a) und b) auch gleich sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Thermodynamik im Hauptfach studiert.

Answer 2

[isohypse]

Ich gehe davon aus, dass du meinst:

a) Zwei Gase, jeweils in einem separaten Behälter mit dem Volumen V0

b) Zwei Gase zusammen in einem einzigen Behälter mit dem Volumen 2*V0​

Anders macht die Frage für mich keinen Sinn, denn man müsste ja eine (hier kpntraproduktive) Kompression auf das halbe Volumen durchführen.

Der Nicht-Unterscheidbarkeit gleicher Teilchen wird durch die korrigierte Boltzmann-Statistik Rechnung getragen: Die Entropie is hier eine rein extensive Größe, (d.h. ist nicht vom Volumen V, sondern nur von der Dichte V/N abhängig), was das bekannte Gibbs-Paradoxon löst.

Die sich ergebende bekannte Formel von Sackur-Tetrode lautet:

$S\ =\ \frac{5}{2}Nk\ +\ Nk\ \ln\left(\frac{V}{N}\cdot f\left(\frac{U}{N}\right)\right)$

Wenn man das nun für den Fall gleicher Gase durchspielt, bekommt man für vorher(I)/nachher(II):

$S_I=2\left(\frac{5}{2}Nk\ +\ Nk\ \ln\left(\frac{V}{N}\right)+\ N\cdot\varphi\left(T\right)\right)$ $S_{II}=\frac{5}{2}2Nk\ +\ 2Nk\ \ln\left(\frac{V}{N}\right)+\ 2N\cdot\varphi\left(T\right)$

Somit ist

$S_{II}-S_I=0$ was ja zu erwarten ist.

Die selbe Überlegung für unterschiedliche Gase (1, 2):

$S_I=2\frac{5}{2}Nk\ +\ Nk\ \ln\left(\frac{V}{N}\right)+\ N\cdot\varphi_1\left(T\right)+Nk\ \ln\left(\frac{V}{N}\right)+\ N\cdot\varphi_2\left(T\right)$ $S_{II}=2\frac{5}{2}Nk\ +\ Nk\ \ln\left(\frac{2V}{N}\right)+\ N\cdot\varphi_1\left(T\right)+Nk\ \ln\left(\frac{2V}{N}\right)+\ N\cdot\varphi_2\left(T\right)$

Die Differenz ist dann

$S_{II}-S_1=\ 2Nk\ \cdot\ \ln2$

Dieses letzte Ergebnis ist natürlich konsistent zu der Überlegung, dass der wahrscheinlichste Makrozustand des gemischten Systems durch eine gleichmäßige Verteilung beider Gassorten gekennzeichnet ist: An jedem Platz eines Teilchens kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/2 entweder die Teilchensorte A oder die Teilchensorte B angetroffen werden. Die Anzahl der Mikrozustände für diesen wahrscheinlichsten Makrozustrand ist dann logischerweise

$\Omega_{\max}=2^N$

Da aufgrund der sehr großen Anzahl der Teilchen wie immer mit äußerst guter Näherun gilt

$\sum_{\mu}^{ }\Omega_{\mu}\approx\Omega_{\max}$

(das ist meiner Meinung nach die zentrale Aussage der statistischen Mechanik) haben wir hiermit bestätigt, dass die Entropie (bis auf den unwesentlichen Vorfaktor) durch die Anzahl der realisierbaren Mikrozustände gegeben ist:

$\ln2^N=N\cdot\ln2$

Für gleiche Teilchensorten ergibt sich aufgrund der selben Überlegung natürlich wieder Null.

Diese etwas hemdsärmelige Überlegung ist somit konsistent zur obigen Formel. Deren Herleitung aus der statistischen Mechanik ist aber relativ lang und umständlich, wobei die Stirlings'sche Näherung hier ganz wesentlich eingeht.

Hier auch eine nette Nachtkästchenlektüre dazu.

Answer 3

[NostraPatrona]

Gas A in Behälter 1 und Gas B in Behälter 2 hat eine geringere Entropie als Gas A und B im Behälter 1+2.

Ist in beiden Behältern nur Gas A ist es egal.