Dreieckskonstruktion aus Seite c, Sc und Gamma?
Wie konstruiere ich ein Dreieck mit den Gegebenheiten:
c = 6 cm,
Seitenhalbierende von c, sc = 5 cm
und Gamma = 60° ?
Ich tippe darauf, dass es was mit dem Umfangswinkelsatz zu tun hat, finde aber keinen Ansatz und auch bei google keinen Hilfreichen Tipp...
1 Antwort
Hallo,
Satz vom Umfangswinkel ist goldrichtig. Der ist nämlich über der gleichen Sehne eines Kreises halb so groß wie der Mittelpunktswinkel. Dieser muß daher 120° groß sein.
Du beginnst mit Seite c=6 cm.
Nun konstruierst Du ein gleichschenkliges Hilfsdreieck mit den Basiswinkeln 30° und dem Winkel senkrecht über c von 120°.
Die 30° ergeben sich wegen des Innenwinkelsummensatzes. 120° brauchst Du, bleiben noch 60° übrig, die Du gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel von je 30° aufteilst.
Du zeichnest also einen Winkel von 30°, dessen einer Schenkel Seite c ist und der Scheitelpunkt das linke oder rechte Ende der Strecke c.
Ein Winkel genügt, den anderen brauchst Du nicht.
Stattdessen konstruierst Du die Mittelsenkrechte von Seite c.
Danach konstruierst Du die Mittelsenkrechte auf dem freien Schenkel des Winkels zwischen Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der Mittelsenkrechte von c.
Der Schnittpunkt zwischen diesen beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises, dessen Sehne die Seite c ist.
Jeder Winkel nun, der oberhalb von Seite c von den beiden Enden von c aus über dem Kreisbogen konstruiert wird, hat genau 60°.
Damit hast Du den ersten geometrischen Ort für den Scheitel des Winkels gamma.
Der zweite ergibt sich aus der Länge von Sc=5 cm.
Du schlägst um den Mittelpunkt von c einen Kreis mit dem Radius von 5 cm.
Der Schnittpunkt mit dem ersten Kreis ist der gesuchte Scheitel, also Punkt C.
Verbinde die beiden Enden von c, also die Punkte A und B mit Punkt C und das Dreieck ist fertig.
Herzliche Grüße,
Willy
Prima.
Ich hatte aber einmal Blödsinn geschrieben. Die zweite Mittelsenkrechte ist nicht nötig.
Mittelpunkt des Kreises für den Umfangswinkel ist der Schnittpunkt zwischen der Mittelsenkrechte auf c und dem freien Schenkel des 30°-Winkels.
Das mit der zweiten Mittelsenkrechte stammte noch von einem falschen Ansatz, den ich vorher gemacht und anschließend korrigiert hatte.
Besten Dank! Der Hinweis mit dem Hilfsdreieck mit den Basiswinkeln von 30° hat mir gefehlt. Der Rest ist super nachvollziehbar und hat wunderbar geklappt!