Dreieck aus 3 Seitenhalbierenden konstruieren?
Hallo ihr Lieben,
kann mir evtl. jemand kurz und vor allem leicht verständlich erklären, wie man ein Dreieck konstruiert, von dem nur die 3 Seitenhalbierenden gegeben sind? Ich verzweifele da schon seit Tagen dran und komme einfach nicht auf die Lösung. Ich weiß, dass zuerst ein Teildreieck konstruiert werden muss, aber wie fange ich damit an und wie geht es dann weiter?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen :)
LG Titanium92
3 Antworten
Die Seitenhalbierenden schneiden sich alle im Schwerpunkt und werden hierdurch in zwei Abschnitte zu 2/3 und 1/3 der Länge geteilt.
- Konstruiere ein Hilfs-Dreieck mit je 1/3 der drei Seitenhalbierenden als Länge. Dann kannst Du einen der Eckpunkte des Hilfs-Dreiecks als Schwerpunkt wählen.
- Verlängere eine Seite des Hilfs-Dreiecks, auf der Dein Schwerpunkt liegt, nach beiden Seiten um je die Seitenlänge - damit hast Du die erste Seitenhalbierende.
- Verlängere die andere Seite des Hilfs-Dreiecks, auf der Dein Schwerpunkt liegt, über den Schwerpunkt hinaus um das Doppelte der Seitenlänge - damit hast Du die zweite Seitenhalbierende.
- Die beiden Endpunkte dieser beiden Seitenhalbierenden, die jeweils weiter vom Schwerpunkt entfernt sind, bilden zwei Ecken des gesuchten Dreiecks. Zeichne die Verbindung zwischen diesen beiden Ecken, damit hast Du die erste Seite des gesuchten Dreiecks.
- Die anderen Enden der Seitenhalbierenden sind die Seitenmittelpunkte des gesuchten Dreiecks. Verbinde je eine der beiden Ecken mit dem anderen Seitenmittelpunkt und verlängere diese beiden Geraden jeweils über den Seitenmittelpunkt hinaus.
- Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist die dritte Ecke des gesuchten Dreiecks.
Vielen, vielen lieben Dank! Durch dich habe ich alles ganz leicht nachvollziehen und anwenden können - super Erklärung, kurz und knapp, leicht verständlich, einfach klasse! Du glaubst gar nicht, wie SEHR du mir damit geholfen hast :D DANKE!
Bisher 1 Antwort.
Dann schicke ich nochmal eine Konstruktion in eigenen Worten hinterher.
Die meiner Meinung nach schnellste Konstruktion ist die über ein Parallelogramm, dessen Hälfte das zu konstruierende Dreieck ist.
Zum Verständnis braucht man eine Planfigur, die du dir auch zeichnen musst. Sonst können wir uns nicht verständigen.
Da ist das Dreieck ABC. Die Seitenhalbierenden gehen jeweils von der Mitte zur gegenüberliegenden Seite und landen in deren Mittelpunkten. So verbindet sa (zweiter Buchstabe jeweils an sich ein Index, also kleiner geschrieben und tiefer gestellt) den Punkt A mit Ma usw.
Schon in der Planfigur füge ich den Punkt A' gegenüber A hinzu, indem ich das ganze Dreieck über Kopf an die Seite a zeichne. Die Seitenhalbierende sa wächst auf die doppelte Länge, die anderen Seitenhalbierenden werden Parallelen.
Nun weiß man ja, die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks, und zwar im Verhältnis 2:1. Das bedeutet:
für sa ist die Strecke AS = 2/3 * sa und SMa = 1/3 * sa.
[Das bekommt man hin, wenn man als Beispiel nimmt: sa = 6cm, dann sind links 4 cm und rechts 2 cm.]
Ich beginne mit AMa mit S darauf, der 2/3 sa von A entfernt liegt.
Ich verlängere sa sofort um sich selbst [mit den Abschnitten 2 cm und 4 cm] und erreiche den Punkt A'. Dazwischen liegt der Punkt S'. [Für das plastische Beispiel schlage ich vor: sb = 5,4 cm und sc = 4,8 cm, - alle gut durch 3 teilbar.]
Ich schlage um S oben herum einen Kreisbogen mit Radius 2/3 sb [3,6] und einen Kreisbogen um S' mit demselben Radius unten herum.
Danach nehme ich 2/3 sc [3,2 cm] in den Zirkel und schlage wieder einen Kreisbogen um S oben herum, der den Punkt C ausschneidet, und einen um S' unten herum, der den Punkt B ausschneidet, jeweils indem ich die vorherigen Kreisbögen schneide.
Wenn ich alles richtig gemacht habe, liegt jetzt Ma auf der Strecke BC genau in der Mitte. Ich verbinde noch A und B sowie A und C und kann auch die fehlenden Seitenhalbierenden komplett einzeichnen.
Uff. Das war's.
Ich hoffe, meine Tippfehler halten sich in Grenzen. Man hat manchmal zbV (zu breite Vingers)!
Hier wird es, denke ich, recht gut erklärt:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/geometrie/dreieck3sh.pdf
Die Seitenhalbierenden schneiden sich alle in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Von diesem Punkt zu den Eckpunkten sinds genau 2/3 der entsprechenden Seitenhalbierenden.
Also zeichnest Du z. B. AS=2/3*s_a und von S dann einen Kreisbogen Richtung C mit der Länge 2/3*s_c und Richtung B mit der Länge 2/3*s_b.
Um den zweiten Kreisbogen zeichnen zu können, musst Du A an S spiegeln, also an S nochmal die Strecke AS zeichnen, um den Punkt S' zu erhalten.
Im 2. Bild des Links siehst Du, dass CS und BS' gleich lang sind, also die Länge 2/3*s_c haben, also machst Du von S' einen Kreisbogen dieser Länge Richtung B und erhälst einen Schnittpunkt (Punkt B). Das gleiche machst Du dann von S' Richtung C mit der Länge 2/3*s_b (=Strecke BS; weil BS=CS'); fertig.
Das hatte ich mir auch schon angeguckt gehabt, aber so richtig nachvollziehen kann ich es leider trotzdem nicht...