Urbild bestimmen
Hi,
ich habe grade Probleme mit dem Urbild
gegeben ist folgendes f:R -> R, x -> { 2x+5 für x<=1 -4x-1 für -1 <= x <= 2 3x-15 für x>2
ich hab die funktion mal gezeichnet: http://rechneronline.de/funktionsgraphen/
a0=1&a1=2x+5&a2=-4x-1&a3=3x-15&a4=0&a5=0&a6=0&a7=1&a8=1&a9=1&b0=500&b1=500&b2=-10&b3=10&b4=-10&b5=10&b6=10&b7=10&b8=5&b9=5&c0=3&c1=0&c2=1&c3=1&c4=1&c5=1&c6=1&c7=0&c8=0&c9=0&d0=1&d1=20&d2=20&d3=0&d4=&d5=-1&d6=-1&d7=2&d8=2&d9=&e0=&e1=&e2=&e3=&e4=14&e5=14&e6=13&e7=12&e8=0&e9=0&f0=0&f1=1&f2=1&f3=0&f4=0&f5=&f6=&f7=&f8=&f9=&g0=&g1=1&g2=1&g3=0&g4=0&g5=0&g6=Y&g7=ffffff&g8=a0b0c0&g9=6080a0&h0=1&z
Einfach unten bei Graph laden eingeben
so die Aufgabenstellung ist nun: Bestimmen sie das Urbild des Intervalls [-1;4] unter f(f^-1([-1;4]))
die Lösung ist [0;3] u [14/3;19;3] aber ich verstehe nicht wiso kann mir jemand helfen ?
3 Antworten
Die drei Äste f1, f2, f2 der Funktion f: R → R, x → f(x) =
- f1(x) = 2x + 5 für x ∈ D1 = { x ∈ IR | x ≤ -1 (nicht x ≤ 1; dann ist das keine Funktion) }
- f2(x) = -4x -1 für x ∈ D2 = { x ∈ IR | -1 ≤ x ≤ 2 }
- f3(x) = 3x -15 für x ∈ D3 = { x ∈ IR | x > 2 }
haben abhängig von ihrem jeweiligen Definitionsbereich D1, D2, D3 die Wertebereiche
- f1(D1) = ( -∞, 3] = W1
- f2(D2) = [-9; 3] = W2
- f3(D3) = [-9; ∞ ) = W3
Dabei bestimmst du im Allgemeinen...
...für streng monoton steigende Funktionsäste
- das kleinste Element des Wertebereichs mit dem kleinsten Element des Definitonsbereichs und
- das größte Element des Wertebereichs mit dem größten Element des Definitonsbereichs
...und für streng monoton fallende Funktionsäste
- das kleinste Element des Wertebereichs mit dem größten Element des Definitonsbereichs und
- das größte Element des Wertebereichs mit dem kleinsten Element des Definitonsbereichs
. . .
Bemerkung: Wie mir jetzt auffällt, hat die Funktion f als ganze in deinem Fall überhaupt keine Umkehrfunktion f^(-1), weil die Wertebereiche einander überschneiden.
Die Schreibweise " f ( f^(-1) ( [-1; 4]) ) " ist daher nicht definiert.
Das Werteintervall [-1; 4] schneidet die Wertebereiche wie folgt:
- [-1; 4] ∩ W1 = [-1; 4] ∩ ( -∞, 3] = [-1; 3] = S1
- [-1; 4] ∩ W2 = [-1; 4] ∩ [-9; 3] = [-1; 3] = S2
- [-1; 4] ∩ W3 = [-1; 4] ∩ [-9; ∞ ) = [-1; 4] = S3
Weiter haben die drei Äste f1, f2, f2 der Funktion f die Umkehrfunktionen
- x = 2y +5 ⇔ f1^(-1)(x) = x/2 - 5/2
- x = -4y -1 ⇔ f2^(-1)(x) = -x/4 -1/4
- x = 3y -15 ⇔ f3^(-1)(x) = x/3 +5
Die jeweiligen Urbilder der Schnitte berechnen sich mit der Umkehrfunktion des jeweiligen Funktionsasts:
- U1 = f1^(-1) (S1) = [-3; -1]
- U2 = f2^(-1) (S2) = [-1; 0]
- U3 = f3^(-1) (S3) = [14/3; 19/3]
Dabei bestimmst du speziell...
...für die streng monoton steigenden Umkehrfunktionen
- das kleinste Element von U1 bzw. U3 mit dem kleinsten Element von S1 bzw. U3 und
- das größte Element von U1 bzw. U3 mit dem größten Element von S1 bzw. U3
...und für die streng monoton fallende Umkehrfunktion
- das kleinste Element von U2 mit dem größten Element von S2 und
- das größte Element von U2 mit dem kleinsten Element von S2.
Also ist das gesuchte Urbild insgesamt die Vereinigungsmenge
[-3; -1] ∪ [-1; 0] ∪ [14/3; 19/3] =
[-3; 0] ∪ [14/3; 19/3],
wie angegeben.
super danke für die ausführliche Antwort ich denke ich habs jetzt verstanden :D Man schaut also praktisch da wo die Funktion y=4 und y=-1 also das Intervall [4;-1] verlässt bzw betritt. Rechnerich nimmt man dann dazu die Umkehrfunktion. So kann man dann bestimmen wann sich die Funktion im Intervall befindet. (so wie in Skizze 1)
Der Witz ist, dass du die Funktionsäste getrennt betrachtest, das vorgegebene Intervall mit den drei Werteintervallen schneidest, für jeden Ast extra guckst, dann die Ergebnisse wieder zusammefügst.
Das mit "Betreten und Verlassen des Intervalls" funktioniert nur bei streng monotonen Funktionen. Sonst musst du nach lokalen Minima und Maxima gucken.
Irgendetwas stimmt nicht, denn für eine beliebige Funktion ist (sicher und theoriegestützt ohne jede Rechnung, aber im Widerspruch zur angegebenen Lösung)
f ( f^(-1) ( [a, b] )) = [a, b],
weil die Verkettung einer Funktion mit Ihrer Umkehrung die identische Funktion ist. Deine Schreibweise setzt übrigens stilschweigend voraus, dass f für ganz f^(-1) [a, b] existiert.
Wie heißt die Aufgabenstellung genau? Oder soll "f^-1" gar nicht die Umkehrfunktion bedeuten? Wenn nein, was dann?
also f^(-1)[M] soll heißen "Das Urbild der Menge M bezüglich f"
und die aufgabenstellung war:
"Bestimmen sie das Urbild des Intervalls [-1;4] unter f(f^(-1)([-1;4]))"
Wenn f^(-1)[M] das Urbild von M bzgl. f ist, dann ist
f( f^(-1)[M] )
wieder M, denn durch das davorgeschrieben f wird das Urbild von M wieder M zugeordnet.
Gerechnet zu werden braucht nichts, die Kenntnis der Zuordnungsvorschrift ist nicht erforderlich, um das Ergebnis anzugeben.
Was sagt der Aufgabensteller zu diesen Einwänden?
Desweiteren ist
f(f^(-1)([-1;4]))
keine Abbildungsvorschrift, sondern bereits eine Wertemenge, denn das zu bearbeitenden Argument ist vorgegeben, eine Variable fehlt. So wie die Schreibweise
" [3; 5]² "
weder eine Parabel noch überhaupt eine Funktion darstellt.
Also kann auch nicht das Urbild des Intervalls "unter" dem Ausdruck bestimmt werden, weil die Formulierung eine Abbildungsvorschrift erwarten lässt ("unter" der etwas betrachtet werden soll).
Die Sprechweise ist unter formallogischen Gesichtspunkten schlicht unsinnig.
fürs 2. Intervall der Lösung; f^-1 von 3x-15 ist (x+15)/3 und wenn du hier -1 bzw 4 einsetzt, bekommst du 14/3 bzw 19/3
Schreibfehler; es muss heißen: